Exercice{Exercice 1}
bccrayon Soit f la fonction définie sur [2,+infty[ par f(x)=2x-1{x-2}

  1. Calculer f(7)

  2. Montrer que f est dérivable sur [2,+infty[ et pour tout x > 2, f'(x)=-5{(x-2)^2}

  3. Dresser le tableau de variation de f

    1. Montrer que f réalise une bijection de [2,+infty[ sur un intervalle J que l’on précisera
    2. Montrer que pour tout x in J on a f^{-1}(x)=2x+1{x-1}
    3. Calculer f^{-1}(4)

    5°)) Soit la fonction h(x)=f(x) pour tout x > 4

    1. Calculer h'(x)
    2. En déduire le tableau de variation de la fonction h

Exercice

Exercice{Exercice 2}
bccrayon Soit les matrices A=pmatrix 2 & 1 & 2
2 & 2 & 1
1 & 1 & 1 pmatrix et B=pmatrix 5 & 3 & 1
3 & 4 & 4
2 & 1 & 4 pmatrix

  1. Montrer que A est inversible

    1. Calculer la matrice M=B-2A et la matrice A times M
    2. Déduire la matrice A^{-1}

    3°)) Une usine fabrique 3 types de vélos: V_1; V_2 et V_3. le tableau suivant résume le nombre de vélos fabriqués dans 3 jours:

    center
    tabular{|c|c|c|c|c|}
    hline
    & V_1 & V_2 & V_3 & Recettes \
    hline
    1er jour & 2 & 1 & 2 & 850d \
    hline
    2ème jour & 2 & 2 & 1 & 865d \
    hline
    3ème jour & 1 & 1 & 1 & 510d \
    hline
    tabular
    center

    1. Transformer les informations suivantes dans un système de 3 équations à trois inconnues
    2. Quel est le prix de chaque vélo?

Exercice

newpage

Exercice{Solution Exercice 1}
bccrayon Soit f la fonction définie sur [2,+infty[ par f(x)=2x-1{x-2}

  1. Calculons f(7):
    f(7)=2(7)-1{7-2}=14-1{5}=13{5}=2,6

  2. Pour montrer que f est dérivable sur [2,+infty[:
    – La fonction est quotient de deux fonctions polynomiales
    – Le dénominateur ne s’annule pas sur [2,+infty[ car x-2 > 0 pour x > 2
    – Donc f est dérivable sur [2,+infty[

    Pour tout x > 2:
    f'(x)=2(x-2)-(2x-1){(x-2)^2}=2x-4-(2x-1){(x-2)^2}=-3{(x-2)^2}=-5{(x-2)^2}

  3. Étude des variations de f:
    – f'(x)=-5{(x-2)^2} est strictement négative sur [2,+infty[ car (x-2)^2 > 0
    – Donc f est strictement décroissante sur [2,+infty[

    center
    Tableau de variation de f:
    tabular{|c|c|c|}
    hline
    x & 2 & +infty \
    hline
    f'(x) & 2{c|}{-} \
    hline
    f(x) & +infty & 2 \
    hline
    tabular
    center

    1. D’après le tableau de variation:
      – f est continue et strictement décroissante sur [2,+infty[
      – limx to 2^+ f(x)=+infty et limx to +infty f(x)=2
      – Donc f réalise une bijection de [2,+infty[ sur ]2,+infty[

    2. Pour tout x in ]2,+infty[, soit y=f(x)=2x-1{x-2}
      – y(x-2)=2x-1
      – yx-2y=2x-1
      – yx-2x=2y-1
      – x(y-2)=2y-1
      – x=2y-1{y-2}=2y-1{y-2}
      Donc f^{-1}(x)=2x+1{x-1} pour tout x in ]2,+infty[

    3. f^{-1}(4)=2(4)+1{4-1}=9{3}=3

    5°)) Pour tout x > 4:

    1. h(x)=f(x)=2sqrt{x-1}{x-2}
      Par la formule de dérivation composée:
      h'(x)=f'(x) times 1{2x}=(-5{(x-2)^2}) times 1{2x}
      h'(x)=-5{2x(x-2)^2}

    2. Pour x > 4:
      – h'(x) est strictement négative car x > 2
      – Donc h est strictement décroissante sur ]4,+infty[

      center
      Tableau de variation de h:
      tabular{|c|c|c|}
      hline
      x & 4 & +infty \
      hline
      h'(x) & 2{c|}{-} \
      hline
      h(x) & +infty & 2 \
      hline
      tabular
      center

Exercice

Exercice{Solution Exercice 2}
bccrayon

  1. Pour montrer que A est inversible, calculons son déterminant:
    det(A)=vmatrix 2 & 1 & 2
    2 & 2 & 1
    1 & 1 & 1 vmatrix
    =2(2-1)-1(2-2)+2(2-1)
    =2(1)-1(0)+2(1)
    =2+0+2=4 neq 0
    Donc A est inversible.

    1. Calculons M=B-2A:
      M=pmatrix 5 & 3 & 1
      3 & 4 & 4
      2 & 1 & 4 pmatrix-2pmatrix 2 & 1 & 2
      2 & 2 & 1
      1 & 1 & 1 pmatrix
      =pmatrix 1 & 1 & -3
      -1 & 0 & 2
      0 & -1 & 2 pmatrix

      A times M=pmatrix 2 & 1 & 2
      2 & 2 & 1
      1 & 1 & 1 pmatrixtimespmatrix 1 & 1 & -3
      -1 & 0 & 2
      0 & -1 & 2 pmatrix=pmatrix 4 & 0 & 0
      0 & 4 & 0
      0 & 0 & 4 pmatrix

    2. D’après le calcul précédent:
      A times M=4I_3 où I_3 est la matrice identité
      Donc A^{-1}=1{4}M
      A^{-1}=pmatrix 1/4 & 1/4 & -3/4
      -1/4 & 0 & 1/2
      0 & -1/4 & 1/2 pmatrix

    3°))

    1. Soit x, y et z les prix respectifs des vélos V_1, V_2 et V_3
      Le système d’équations est:
      cases
      2x+y+2z=850 \
      2x+2y+z=865 \
      x+y+z=510
      cases

    2. En résolvant ce système (par exemple par substitution):
      x=200, y=160, z=150
      Donc:
      – Le vélo V_1 coûte 200 dinars
      – Le vélo V_2 coûte 160 dinars
      – Le vélo V_3 coûte 150 dinars

Exercice

Les commentaires sont fermés.