Exercice{Exercice 1}
bccrayon Soit f la fonction définie sur $[2,+infty[$ par $f(x)=2x-1{x-2}$

item[1°)] Calculer $f(7)$

item[2°)] Montrer que f est dérivable sur $[2,+infty[$ et pour tout $x > 2$, $f'(x)=-5{(x-2)^2}$

item[3°)] Dresser le tableau de variation de f

item[4°)]
enumerate
item[a)] Montrer que f réalise une bijection de $[2,+infty[$ sur un intervalle J que l’on précisera
item[b)] Montrer que pour tout $x in J$ on a $f^{-1}(x)=2x+1{x-1}$
item[c)] Calculer $f^{-1}(4)$

item[5°)] Soit la fonction $h(x)=f(x)$ pour tout $x > 4$

item[a)] Calculer $h'(x)$
item[b)] En déduire le tableau de variation de la fonction h

enumerate
Exercice

Exercice{Exercice 2}
bccrayon Soit les matrices $A=pmatrix 2 & 1 & 2
2 & 2 & 1
1 & 1 & 1 pmatrix$ et $B=pmatrix 5 & 3 & 1
3 & 4 & 4
2 & 1 & 4 pmatrix$

item[1°)] Montrer que A est inversible

item[2°)]
enumerate
item[a)] Calculer la matrice $M=B-2A$ et la matrice $A times M$
item[b)] Déduire la matrice $A^{-1}$

item[3°)] Une usine fabrique 3 types de vélos: $V_1$; $V_2$ et $V_3$. le tableau suivant résume le nombre de vélos fabriqués dans 3 jours:

center
tabular{|c|c|c|c|c|}
hline
& $V_1$ & $V_2$ & $V_3$ & Recettes \
hline
1er jour & 2 & 1 & 2 & 850d \
hline
2ème jour & 2 & 2 & 1 & 865d \
hline
3ème jour & 1 & 1 & 1 & 510d \
hline
tabular
center

item[a)] Transformer les informations suivantes dans un système de 3 équations à trois inconnues
item[b)] Quel est le prix de chaque vélo?

enumerate
Exercice

newpage

Exercice{Solution Exercice 1}
bccrayon Soit f la fonction définie sur $[2,+infty[$ par $f(x)=2x-1{x-2}$

item[1°)] Calculons $f(7)$:
$f(7)=2(7)-1{7-2}=14-1{5}=13{5}=2,6$

item[2°)] Pour montrer que f est dérivable sur $[2,+infty[$:
– La fonction est quotient de deux fonctions polynomiales
– Le dénominateur ne s’annule pas sur $[2,+infty[$ car $x-2 > 0$ pour $x > 2$
– Donc f est dérivable sur $[2,+infty[$

Pour tout $x > 2$:
$f'(x)=2(x-2)-(2x-1){(x-2)^2}=2x-4-(2x-1){(x-2)^2}=-3{(x-2)^2}=-5{(x-2)^2}$

item[3°)] Étude des variations de f:
– $f'(x)=-5{(x-2)^2}$ est strictement négative sur $[2,+infty[$ car $(x-2)^2 > 0$
– Donc f est strictement décroissante sur $[2,+infty[$

center
Tableau de variation de f:
tabular{|c|c|c|}
hline
$x$ & $2$ & $+infty$ \
hline
$f'(x)$ & 2{c|}{$-$} \
hline
$f(x)$ & $+infty$ & $2$ \
hline
tabular
center

item[4°)]
enumerate
item[a)] D’après le tableau de variation:
– f est continue et strictement décroissante sur $[2,+infty[$
– $limx to 2^+ f(x)=+infty$ et $limx to +infty f(x)=2$
– Donc f réalise une bijection de $[2,+infty[$ sur $]2,+infty[$

item[b)] Pour tout $x in ]2,+infty[$, soit $y=f(x)=2x-1{x-2}$
– $y(x-2)=2x-1$
– $yx-2y=2x-1$
– $yx-2x=2y-1$
– $x(y-2)=2y-1$
– $x=2y-1{y-2}=2y-1{y-2}$
Donc $f^{-1}(x)=2x+1{x-1}$ pour tout $x in ]2,+infty[$

item[c)] $f^{-1}(4)=2(4)+1{4-1}=9{3}=3$

item[5°)] Pour tout $x > 4$:

item[a)] $h(x)=f(x)=2sqrt{x-1}{x-2}$
Par la formule de dérivation composée:
$h'(x)=f'(x) times 1{2x}=(-5{(x-2)^2}) times 1{2x}$
$h'(x)=-5{2x(x-2)^2}$

item[b)] Pour $x > 4$:
– $h'(x)$ est strictement négative car $x > 2$
– Donc h est strictement décroissante sur $]4,+infty[$

center
Tableau de variation de h:
tabular{|c|c|c|}
hline
$x$ & $4$ & $+infty$ \
hline
$h'(x)$ & 2{c|}{$-$} \
hline
$h(x)$ & $+infty$ & $2$ \
hline
tabular
center

enumerate
Exercice

Exercice{Solution Exercice 2}
bccrayon

item[1°)] Pour montrer que A est inversible, calculons son déterminant:
$det(A)=vmatrix 2 & 1 & 2
2 & 2 & 1
1 & 1 & 1 vmatrix$
$=2(2-1)-1(2-2)+2(2-1)$
$=2(1)-1(0)+2(1)$
$=2+0+2=4 neq 0$
Donc A est inversible.

item[2°)]
enumerate
item[a)] Calculons $M=B-2A$:
$M=pmatrix 5 & 3 & 1
3 & 4 & 4
2 & 1 & 4 pmatrix-2pmatrix 2 & 1 & 2
2 & 2 & 1
1 & 1 & 1 pmatrix$
$=pmatrix 1 & 1 & -3
-1 & 0 & 2
0 & -1 & 2 pmatrix$

$A times M=pmatrix 2 & 1 & 2
2 & 2 & 1
1 & 1 & 1 pmatrixtimespmatrix 1 & 1 & -3
-1 & 0 & 2
0 & -1 & 2 pmatrix=pmatrix 4 & 0 & 0
0 & 4 & 0
0 & 0 & 4 pmatrix$

item[b)] D’après le calcul précédent:
$A times M=4I_3$ où $I_3$ est la matrice identité
Donc $A^{-1}=1{4}M$
$A^{-1}=pmatrix 1/4 & 1/4 & -3/4
-1/4 & 0 & 1/2
0 & -1/4 & 1/2 pmatrix$

item[3°)]

item[a)] Soit $x$, $y$ et $z$ les prix respectifs des vélos $V_1$, $V_2$ et $V_3$
Le système d’équations est:
$cases
2x+y+2z=850 \
2x+2y+z=865 \
x+y+z=510
cases$

item[b)] En résolvant ce système (par exemple par substitution):
$x=200$, $y=160$, $z=150$
Donc:
– Le vélo $V_1$ coûte 200 dinars
– Le vélo $V_2$ coûte 160 dinars
– Le vélo $V_3$ coûte 150 dinars

enumerate
Exercice