section*{Question 1 : Équation de Schrödinger indépendante du temps}
L’objectif ici est d’écrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps et de détailler son Hamiltonien.
subsection*{L’équation de Schrödinger indépendante du temps :}
L’équation de Schrödinger pour une particule de masse (mu) dans un potentiel (V(r)) s’écrit :
[
H Psi(r) = E Psi(r),
]
où :
itemize
item (H) est l’opérateur Hamiltonien du système,
item (Psi(r)) est la fonction d’onde stationnaire décrivant l’état quantique de la particule,
item (E) est l’énergie totale de l’état stationnaire.
itemize
L’opérateur Hamiltonien (H) est la somme de l’énergie cinétique et du potentiel :
[
H = -hbar^2{2mu} nabla^2 + V(r),
]
où :
itemize
item (-hbar^2{2mu} nabla^2) est l’opérateur d’énergie cinétique,
item (V(r)) est le potentiel central agissant sur la particule.
itemize
subsection*{Le Laplacien (nabla^2) en coordonnées sphériques :}
En coordonnées sphériques ((r, theta, phi)), le Laplacien est donné par :
[
nabla^2 = 1{r^2} partial{partial r} left( r^2 partial{partial r} right) + 1{r^2 sintheta} partial{partial theta} left( sintheta partial{partial theta} right) + 1{r^2 sin^2theta} partial^2{partial phi^2}.
]
Le potentiel (V(r)) ne dépend que de la distance (r) (potentiel central), donc la fonction d’onde (Psi(r)) peut se séparer en une partie radiale et une partie angulaire :
[
Psi(r) = R(r) Y_l^m(theta, phi),
]
où :
itemize
item (R(r)) est la fonction radiale,
item (Y_l^m(theta, phi)) sont les harmoniques sphériques, solutions des parties angulaires de l’équation de Schrödinger.
itemize
subsection*{Substitution dans l’équation de Schrödinger :}
En remplaçant (Psi(r) = R(r) Y_l^m(theta, phi)) dans (H Psi = E Psi), on sépare les parties angulaire et radiale.
1. Opérateur angulaire :
Les harmoniques sphériques (Y_l^m(theta, phi)) satisfont :
[
L^2 Y_l^m(theta, phi) = hbar^2 l(l+1) Y_l^m(theta, phi),
]
où (L^2) est l’opérateur de moment angulaire. Ce terme contribue à l’énergie angulaire et dépend du nombre quantique (l).
2. Partie radiale :
La partie radiale de (nabla^2) est donnée par :
[
nabla^2 R(r) = 1{r^2} partial{partial r} left( r^2 partial R{partial r} right).
]
L’équation de Schrödinger devient alors :
[
-hbar^2{2mu} left[ 1{r^2} partial{partial r} left( r^2 partial R{partial r} right) – l(l+1){r^2} R right] + V(r) R = E R.
]
subsection*{Forme finale de l’équation radiale :}
En regroupant les termes, l’équation radiale s’écrit :
[
d^2R{dr^2} + 2{r} dR{dr} + left[ k^2 – l(l+1){r^2} – 2mu V(r){hbar^2} right] R = 0,
]
où :
[
k^2 = 2mu E{hbar^2}.
]
Pour simplifier l’analyse, on introduit une nouvelle fonction radiale (phi_l(r)) définie par :
[
R(r) = phi_l(r){r}.
]
Ainsi, l’équation devient :
[
d^2phi_l{dr^2} + left[ k^2 – l(l+1){r^2} – 2mu V(r){hbar^2} right] phi_l(r) = 0.
]
subsection*{Conclusion :}
L’équation radiale pour une particule dans un potentiel central (V(r)) est donnée par :
[
d^2phi_l{dr^2} + left[ k^2 – l(l+1){r^2} – 2mu V(r){hbar^2} right] phi_l(r) = 0.
]
Cette équation décrit le comportement de la fonction radiale (phi_l(r)), en tenant compte de l’énergie cinétique, du potentiel (V(r)), et du terme centrifuge (l(l+1){r^2}).
section*{Question 2 : Solution asymptotique de l’équation radiale}
Nous allons déterminer la solution asymptotique de l’équation radiale lorsque (r to infty), en explicitant chaque terme.
subsection*{Rappel de l’équation radiale :}
L’équation radiale obtenue dans la Question 1 est donnée par :
[
d^2phi_l{dr^2} + left[ k^2 – l(l+1){r^2} – 2mu V(r){hbar^2} right] phi_l(r) = 0,
]
où :
itemize
item (k^2 = 2mu E{hbar^2}),
item (phi_l(r)) est la fonction radiale.
itemize
subsection*{Hypothèses asymptotiques :}
Lorsque (r to infty) :
item Le potentiel (V(r) to 0) (potentiel de courte portée).
item Le terme (l(l+1){r^2}) devient négligeable comparé à (k^2).
Dans ce cas, l’équation radiale se réduit à :
[
d^2phi_l{dr^2} + k^2 phi_l(r) = 0.
]
subsection*{Résolution de l’équation asymptotique :}
L’équation simplifiée est :
[
d^2phi_l{dr^2} + k^2 phi_l(r) = 0.
]
Cette équation est une équation différentielle linéaire à coefficients constants. La solution générale est :
[
phi_l(r) = A e^{ikr} + B e^{-ikr},
]
où :
itemize
item (A) et (B) sont des constantes d’intégration déterminées par les conditions aux limites,
item (e^{ikr}) représente une onde sphérique sortante,
item (e^{-ikr}) représente une onde sphérique entrante.
itemize
subsection*{Interprétation physique :}
1. Onde incidente :
Une onde plane incidente dans la direction (z) est donnée par :
[
text{inc}(r) = e^{ikz}.
]
En coordonnées sphériques, avec (z = rcostheta), on peut développer (e^{ikz}) en une série d’harmoniques sphériques :
[
e^{ikz} = l=0^infty i^l (2l+1) j_l(kr) P_l(costheta),
]
où :
itemize
item (j_l(kr)) sont les fonctions de Bessel sphériques,
item (P_l(costheta)) sont les polynômes de Legendre.
itemize
2. Onde diffusée :
L’onde diffusée est une onde sphérique sortante donnée par :
[
text{diff}(r) sim f(theta){r} e^{ikr},
]
où (f(theta)) est l’amplitude de diffusion qui dépend de l’angle (theta).
subsection*{Comportement asymptotique total :}
La fonction d’onde totale (Psi(r)) est la somme des contributions incidente et diffusée :
[
Psi(r) sim e^{ikz} + f(theta){r} e^{ikr}.
]
En utilisant la relation (z = rcostheta) et le développement de (e^{ikz}), nous obtenons le comportement asymptotique :
[
Psi(r) sim l=0^infty i^l (2l+1) left[ j_l(kr) + i h_l^{(1)}(kr) f_l{k} right] P_l(costheta),
]
où :
itemize
item (h_l^{(1)}(kr)) sont les fonctions de Hankel sphériques (ondes sortantes),
item (f_l) est le terme lié à l’amplitude de diffusion.
itemize
subsection*{Solution asymptotique pour (phi_l(r)) :}
Pour (r to infty), la solution asymptotique pour (phi_l(r)) prend la forme :
[
phi_l(r) sim c_l sin(kr – lpi/2 + delta_l),
]
où :
itemize
item (c_l) est une constante d’amplitude,
item (delta_l) est le déphasage dû à l’interaction avec le potentiel (V(r)),
item (kr – lpi/2) décrit le comportement oscillatoire en fonction de la distance.
itemize
subsection*{Conclusion :}
La solution asymptotique de l’équation radiale montre que pour des distances grandes ((r to infty)), le potentiel central (V(r)) modifie la phase de l’onde sortante par un déphasage (delta_l), sans affecter sa forme oscillatoire générale. Cette solution est essentielle pour comprendre les phénomènes de diffusion.
section*{Question 3 : La partie diffusée de la fonction d’onde}
Dans cette question, nous devons analyser la partie diffusée de la fonction d’onde et déterminer son comportement asymptotique ainsi que les courants de probabilité associés.
subsection*{1. Définition de la fonction d’onde totale}
La fonction d’onde totale (Psi(r)) est la somme de deux contributions :
[
Psi(r) = text{inc}(r) + text{diff}(r),
]
où :
itemize
item (text{inc}(r)) est l’onde incidente,
item (text{diff}(r)) est l’onde diffusée.
itemize
Onde incidente : L’onde incidente est donnée par :
[
text{inc}(r) = e^{ikz},
]
où (z = r costheta). En coordonnées sphériques, elle peut être développée en série d’harmoniques sphériques :
[
text{inc}(r) = l=0^infty i^l (2l+1) j_l(kr) P_l(costheta),
]
où :
itemize
item (j_l(kr)) est la fonction de Bessel sphérique,
item (P_l(costheta)) est le polynôme de Legendre de degré (l).
itemize
Onde diffusée : La partie diffusée est définie par :
[
text{diff}(r) = Psi(r) – text{inc}(r).
]
Son comportement asymptotique pour (r to infty) est donné par :
[
text{diff}(r) sim f(theta, phi){r} e^{ikr},
]
où (f(theta, phi)) est l’amplitude de diffusion dépendant des angles (theta) et (phi).
—
subsection*{2. Courant de probabilité}
Le courant de probabilité est défini par :
[
J = hbar{2imu} left( Psi^* nabla Psi – Psi nabla Psi^* right),
]
où :
itemize
item (Psi^*) est le conjugué complexe de la fonction d’onde,
item (nabla) est l’opérateur gradient,
item (mu) est la masse réduite.
itemize
Pour une onde sphérique, le courant de probabilité associé est radial et asymptotiquement il s’écrit comme :
[
J = hbar k{mu} left| f(theta, phi) right|^2 r,
]
où (r) est le vecteur unitaire radial.
—
subsection*{3. Contributions incidente et diffusée}
Le courant de probabilité total peut être séparé en deux contributions principales :
itemize
item (J_{inc}), qui correspond au courant associé à l’onde incidente :
[
J_{inc} = hbar k{mu},
]
où (k = frac{2mu E{hbar^2}}) est le vecteur d’onde,
item (J_{diff}), qui correspond au courant de probabilité de l’onde diffusée :
[
J_{diff} = hbar k{mu} left| f(theta, phi) right|^2.
]
itemize
Ainsi, la conservation du flux asymptotique relie l’amplitude de diffusion (f(theta, phi)) à la probabilité de diffusion.
—
subsection*{4. Calcul asymptotique de (text{diff})}
Pour une onde totale en coordonnées sphériques, le comportement asymptotique est donné par :
[
Psi(r) sim e^{ikz} + f(theta){r} e^{ikr}.
]
Le terme incident (e^{ikz}) peut être développé en série d’harmoniques sphériques :
[
e^{ikz} = l=0^infty i^l (2l+1) j_l(kr) P_l(costheta).
]
Pour l’onde diffusée, le comportement asymptotique est dominé par les termes en (e^{ikr}). En réécrivant la partie diffusée, nous obtenons :
[
text{diff}(r) = l=0^infty i^l (2l+1) h_l^{(1)}(kr) P_l(costheta),
]
où (h_l^{(1)}(kr)) est la fonction de Hankel sphérique décrivant les ondes sortantes.
—
subsection*{5. Amplitude de diffusion et interprétation}
L’amplitude de diffusion est extraite de la partie asymptotique de la fonction d’onde :
[
f(theta) = 1{2ik} l=0^infty (2l+1) e^{idelta_l} sindelta_l P_l(costheta),
]
où :
itemize
item (delta_l) est le déphasage dû au potentiel (V(r)),
item (sindelta_l) est relié à la probabilité de diffusion dans chaque canal (l).
itemize
—
subsection*{Conclusion}
La partie diffusée de la fonction d’onde est caractérisée par une amplitude (f(theta, phi)) et un terme asymptotique (e^{ikr}/r). Cette amplitude est directement reliée aux coefficients des harmoniques sphériques, au déphasage (delta_l), et joue un rôle clé dans les calculs de la section efficace totale.
section*{Question 4 : Développement de la fonction d’onde (Psi(r)) sur les harmoniques sphériques}
Dans cette question, nous développons la fonction d’onde totale (Psi(r)) en série d’harmoniques sphériques et analysons l’équation radiale associée.
subsection*{1. Développement en harmoniques sphériques}
La fonction d’onde (Psi(r)) peut être exprimée en coordonnées sphériques comme une série d’harmoniques sphériques :
[
Psi(r) = l=0^infty m=-l^l a_{l,m} phi_l(r){r} Y_l^m(theta, phi),
]
où :
itemize
item (a_{l,m}) sont les coefficients dépendant des conditions initiales,
item (phi_l(r)) est la fonction radiale,
item (Y_l^m(theta, phi)) sont les harmoniques sphériques.
itemize
Les harmoniques sphériques satisfont les relations d’orthonormalité :
[
int Y_l^m(theta, phi) Y_{l’}^{m’*}(theta, phi) sintheta , dtheta , dphi = l,l’ m,m’,
]
où (l,l’) est le symbole de Kronecker.
—
subsection*{2. Équation différentielle radiale}
En substituant le développement de (Psi(r)) dans l’équation de Schrödinger indépendante du temps :
[
H Psi(r) = E Psi(r),
]
nous obtenons l’équation radiale pour (phi_l(r)) après séparation des variables. L’équation radiale s’écrit :
[
d^2phi_l{dr^2} + left[ k^2 – l(l+1){r^2} – 2mu V(r){hbar^2} right] phi_l(r) = 0,
]
où :
itemize
item (k^2 = 2mu E{hbar^2}),
item (l(l+1)) est le terme centrifuge dû au moment angulaire,
item (V(r)) est le potentiel central.
itemize
—
subsection*{3. Analyse des solutions radiales}
subsubsection*{a) À l’origine ((r to 0)) :}
À proximité de (r = 0), les termes dominants dans l’équation radiale sont :
[
d^2phi_l{dr^2} – l(l+1){r^2} phi_l(r) = 0.
]
Posons (phi_l(r) sim r^alpha), et substituons dans l’équation :
[
alpha (alpha – 1) r^{alpha – 2} – l(l+1) r^{alpha – 2} = 0.
]
Facteur commun (r^{alpha-2}) non nul, nous obtenons :
[
alpha (alpha – 1) = l(l+1).
]
Les solutions sont :
[
alpha = l quad ou quad alpha = -(l+1).
]
On rejette la solution (alpha = -(l+1)), car elle diverge lorsque (r to 0). Donc, à l’origine :
[
phi_l(r) sim r^l.
]
—
subsubsection*{b) Comportement asymptotique ((r to infty)) :}
Pour (r to infty), (V(r) to 0) et l’équation radiale devient :
[
d^2phi_l{dr^2} + left[ k^2 – l(l+1){r^2} right] phi_l(r) = 0.
]
Lorsque (r to infty), le terme (l(l+1){r^2}) devient négligeable par rapport à (k^2). L’équation se simplifie en :
[
d^2phi_l{dr^2} + k^2 phi_l(r) = 0.
]
Les solutions sont des fonctions oscillatoires :
[
phi_l(r) sim c_l sin(kr – lpi/2 + delta_l),
]
où :
itemize
item (c_l) est une constante d’amplitude,
item (delta_l) est le déphasage dû à l’interaction avec le potentiel (V(r)),
item (-lpi/2) provient de la condition pour les harmoniques sphériques.
itemize
—
subsubsection*{c) Équation radiale complète :}
L’équation radiale complète reliant les deux limites est :
[
d^2phi_l{dr^2} + left[ k^2 – l(l+1){r^2} – 2mu V(r){hbar^2} right] phi_l(r) = 0.
]
—
subsection*{4. Équation asymptotique générale ((r to infty))}
La solution générale de l’équation radiale asymptotique est :
[
phi_l(r) sim c_l sin(kr – lpi/2 + delta_l),
]
où le terme (delta_l) dépend du potentiel (V(r)).
—
subsection*{Conclusion}
Le développement de la fonction d’onde (Psi(r)) sur les harmoniques sphériques sépare les variables en termes angulaires et radiaux. L’équation radiale est gouvernée par un terme centrifuge et le potentiel (V(r)). Les solutions asymptotiques décrivent des oscillations modifiées par un déphasage (delta_l), qui est essentiel pour caractériser les phénomènes de diffusion.
section*{Question 5 : Solution générale de l’équation asymptotique et amplitude de diffusion}
Dans cette question, nous déterminons la solution générale asymptotique de l’équation radiale et explorons les relations pour l’amplitude de diffusion.
—
subsection*{1. Solution générale de l’équation asymptotique}
À grande distance ((r to infty)), l’équation radiale devient asymptotique car :
[
d^2phi_l{dr^2} + left[ k^2 – l(l+1){r^2} – 2mu V(r){hbar^2} right] phi_l(r) = 0.
]
Lorsque (V(r) to 0) pour (r to infty), le terme lié au potentiel devient négligeable. L’équation radiale se simplifie alors en :
[
d^2phi_l{dr^2} + left[ k^2 – l(l+1){r^2} right] phi_l(r) = 0.
]
Pour de grandes distances, le terme (l(l+1){r^2}) devient également négligeable par rapport à (k^2), et l’équation devient simplement :
[
d^2phi_l{dr^2} + k^2 phi_l(r) = 0.
]
La solution générale est donc :
[
phi_l(r) sim c_l sin(kr – lpi/2 + delta_l),
]
où :
itemize
item (c_l) est une constante d’amplitude,
item (delta_l) est le déphasage dû au potentiel (V(r)),
item (kr – lpi/2) représente l’onde oscillatoire modifiée par le moment angulaire (l).
itemize
—
subsection*{2. Normalisation et comportement asymptotique}
La solution générale en fonction de l’onde sortante et entrante est écrite sous forme de combinaisons exponentielles :
[
phi_l(r) sim e^{-i(kr – lpi/2)} + S_l e^{i(kr – lpi/2)},
]
où (S_l = e^{2idelta_l}) est le facteur de diffusion.
Amplitude de diffusion (f(theta)) :
Le lien entre l’amplitude de diffusion et le déphasage (delta_l) est donné par :
[
f(theta) = 1{2ik} l=0^infty (2l+1) e^{idelta_l} sindelta_l P_l(costheta),
]
où :
itemize
item (P_l(costheta)) est le polynôme de Legendre,
item (delta_l) est le déphasage dû à l’interaction avec le potentiel (V(r)),
item (sindelta_l) est proportionnel à la probabilité de diffusion dans le canal (l).
itemize
—
subsection*{3. Amplitude de diffusion (f(theta))}
L’amplitude de diffusion (f(theta)) est obtenue à partir de la partie diffusée de l’onde totale, qui, asymptotiquement, est donnée par :
[
text{diff}(r) sim f(theta){r} e^{ikr}.
]
Développons (f(theta)) en termes des harmoniques sphériques. En utilisant le développement de la fonction d’onde, on obtient :
[
f(theta) = 1{2ik} l=0^infty (2l+1) e^{idelta_l} sindelta_l P_l(costheta).
]
—
subsection*{4. Section efficace totale}
La section efficace totale est obtenue en intégrant l’amplitude de diffusion sur toutes les directions solides :
[
sigma = int dsigma{dOmega} dOmega.
]
La section efficace différentielle est donnée par :
[
dsigma{dOmega} = |f(theta)|^2.
]
Substituons l’expression de (f(theta)) dans (|f(theta)|^2) :
[
sigma = 4pi{k^2} l=0^infty (2l+1) sin^2delta_l,
]
où :
itemize
item (k^2 = 2mu E{hbar^2}) est relié à l’énergie incidente,
item (sin^2delta_l) représente la contribution du canal (l) à la probabilité de diffusion.
itemize
—
subsection*{Conclusion}
La solution générale de l’équation radiale asymptotique inclut une onde entrante et une onde sortante avec un déphasage (delta_l). L’amplitude de diffusion (f(theta)) est directement reliée aux coefficients des harmoniques sphériques et au déphasage (delta_l). La section efficace totale est calculée comme une somme pondérée des termes associés à chaque canal (l), représentant la probabilité totale de diffusion.
section*{Question 5c : Section efficace totale}
Dans cette question, nous devons démontrer que la section efficace totale est donnée par :
[
sigma = 4pi{k^2} l=0^infty (2l+1) sin^2delta_l.
]
—
subsection*{1. Rappel de la section efficace}
La section efficace totale (sigma) est définie comme l’intégrale de la section efficace différentielle sur l’ensemble des directions solides :
[
sigma = int dsigma{dOmega} dOmega,
]
où (dsigma{dOmega}) est la section efficace différentielle, donnée par :
[
dsigma{dOmega} = |f(theta)|^2.
]
Amplitude de diffusion (f(theta)) :
L’amplitude de diffusion (f(theta)) est exprimée comme :
[
f(theta) = 1{2ik} l=0^infty (2l+1) e^{idelta_l} sindelta_l P_l(costheta),
]
où :
itemize
item (P_l(costheta)) est le polynôme de Legendre,
item (e^{idelta_l}) représente le déphasage dû au potentiel (V(r)),
item (sindelta_l) est proportionnel à la probabilité de diffusion dans le canal (l).
itemize
—
subsection*{2. Calcul de (|f(theta)|^2)}
Prenons le module carré de (f(theta)) :
[
|f(theta)|^2 = left( 1{2ik} l=0^infty (2l+1) e^{idelta_l} sindelta_l P_l(costheta) right)
left( 1{-2ik} l’=0^infty (2l’+1) e^{-il’} sinl’ P_{l’}(costheta) right).
]
En développant, nous obtenons :
[
|f(theta)|^2 = 1{4k^2} l=0^infty l’=0^infty (2l+1)(2l’+1) e^{i(delta_l – l’)} sindelta_l sinl’ P_l(costheta) P_{l’}(costheta).
]
—
subsection*{3. Intégrale sur la sphère}
La section efficace totale est donnée par :
[
sigma = int_0^{2pi} int_0^pi |f(theta)|^2 sintheta , dtheta , dphi.
]
En utilisant les propriétés d’orthogonalité des polynômes de Legendre :
[
int_0^pi P_l(costheta) P_{l’}(costheta) sintheta , dtheta = 2{2l+1} l,l’,
]
le terme croisé ((l neq l’)) disparaît. Ainsi, l’intégrale se réduit à :
[
sigma = 4pi{k^2} l=0^infty (2l+1) sin^2delta_l.
]
—
subsection*{4. Conclusion}
Nous avons démontré que la section efficace totale est donnée par :
[
sigma = 4pi{k^2} l=0^infty (2l+1) sin^2delta_l,
]
où chaque terme (sin^2delta_l) représente la probabilité de diffusion dans le canal (l), pondérée par le facteur ((2l+1)), qui correspond à la dégénérescence des états dans le moment angulaire (l).
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