Fiches Méthodes Mathématiques

Étape 1 : Pour que \(f(x) = \ln(x^2-4)\) soit définie, il faut que \(x^2-4 > 0\)

Étape 2 : Résolvons cette inéquation :

\(x^2-4 > 0\)

\(x^2 > 4\)

\(x < -2\) ou \(x > 2\)

Étape 3 : Donc, l’ensemble de définition de \(f\) est : \(D_f = ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[\)

Étape 1 : Observons que \(f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2\) \( \forall x \neq 2\)

Donc \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x+2) = 4\)

Et \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x+2) = 4\)

Étape 2 : \(f\) n’est pas définie en \(x_0 = 2\) (division par zéro)

Étape 3 : \(f\) n’est pas continue en \(x_0 = 2\), car \(f\) n’est pas définie en ce point.

Cependant, si on prolonge \(f\) en posant \(f(2) = 4\), la nouvelle fonction obtenue sera continue en \(x_0 = 2\).

Étape 1 : On sait que \(f(1) = |1-1| = 0\)

Pour \(x < 1\) : \(f(x) = -(x-1) = 1-x\)

Pour \(x > 1\) : \(f(x) = x-1\)

\(\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1-x-0}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1-x}{x-1} = -1\)

\(\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-1-0}{x-1} = 1\)

Étape 2 : Les limites à gauche et à droite sont différentes : \(-1 \neq 1\)

Étape 3 : Donc \(f\) n’est pas dérivable en \(x_0 = 1\).

Étape 1 : L’ensemble de définition est \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\)

Calculons \(\lim_{x \to -1^-} f(x)\) et \(\lim_{x \to -1^+} f(x)\) :

Au voisinage de \(x = -1\), on a \(x+1 \to 0\)

Pour \(x \to -1^-\), on a \(x+1 < 0\) et \(2x-3 \to -5\), donc \(\lim_{x \to -1^-} f(x) = \frac{-5}{0^-} = +\infty\)

Pour \(x \to -1^+\), on a \(x+1 > 0\) et \(2x-3 \to -5\), donc \(\lim_{x \to -1^+} f(x) = \frac{-5}{0^+} = -\infty\)

Étape 2 : Calculons les limites à l’infini :

\(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x-3}{x+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2-\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}} = 2\)

Étape 3 : Conclusion :

– La droite d’équation \(x = -1\) est une asymptote verticale

– La droite d’équation \(y = 2\) est une asymptote horizontale

Étape 1 : Calculons \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) – (2x + 3)]\)

\(\lim_{x \to +\infty} [f(x) – (2x + 3)] = \lim_{x \to +\infty} [(2x + 3 + \frac{5}{x}) – (2x + 3)]\)

\(\lim_{x \to +\infty} [f(x) – (2x + 3)] = \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x} = 0\)

Étape 2 : Comme cette limite est égale à 0, la droite d’équation \(y = 2x + 3\) est bien une asymptote oblique à la courbe \((C_f)\) en \(+\infty\).

Étape 1 : Étudions le signe de \(f(x) – (ax + b)\)

\(f(x) – (ax + b) = x^2 – (2x – 1) = x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2\)

Étape 2 : Comme \((x – 1)^2 \geq 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) et \((x – 1)^2 = 0\) si et seulement si \(x = 1\), on a :

– \(f(x) – (2x – 1) > 0\) \( \forall x \neq 1\)

– \(f(x) – (2x – 1) = 0\) pour \(x = 1\)

Conclusion : La courbe \((C_f)\) est strictement au-dessus de la droite \((\Delta)\) \( \forall x \neq 1\), et les deux courbes se coupent au point de coordonnées \((1, 1)\).

Étape 1 : Calculons \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) – g(x)]\) :

\(\lim_{x \to +\infty} [f(x) – g(x)] = \lim_{x \to +\infty} [\frac{x^2+1}{x} – x]\)

\(\lim_{x \to +\infty} [f(x) – g(x)] = \lim_{x \to +\infty} [\frac{x^2+1-x^2}{x}] = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\)

Étape 2 : Comme cette limite est égale à 0, les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) sont asymptotes en \(+\infty\).

Étape 1 : Étudions le signe de \(f(x) – g(x)\)

\(f(x) – g(x) = x^2 – 2x = x(x – 2)\)

Ce produit change de signe en \(x = 0\) et \(x = 2\)

Étape 2 : Tableau de signes de \(f(x) – g(x)\) :

– Pour \(x < 0\) : \(f(x) - g(x) > 0\) donc \((C_f)\) est au-dessus de \((C_g)\)

– Pour \(0 < x < 2\) : \(f(x) - g(x) < 0\) donc \((C_f)\) est en-dessous de \((C_g)\)

– Pour \(x > 2\) : \(f(x) – g(x) > 0\) donc \((C_f)\) est au-dessus de \((C_g)\)

Les courbes se coupent aux points de coordonnées \((0,0)\) et \((2,4)\).

Étape 1 : Calculons \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}\) :

\(\frac{f(x)}{x} = \frac{x + \frac{x}{x^2+1}}{x} = 1 + \frac{1}{x^2+1}\)

\(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{1}{x^2+1}) = 1\)

Donc \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 \in \mathbb{R}^*\)

Étape 2 : Calculons \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – x]\) :

\(f(x) – x = x + \frac{x}{x^2+1} – x = \frac{x}{x^2+1}\)

\(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – x] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{\frac{x^2+1}{x}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x + \frac{1}{x}} = 0\)

Étape 3 : Donc \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – x] = 0\)

Conclusion : La courbe \((C_f)\) admet une asymptote oblique d’équation \(y = x\) en \(\pm\infty\).

Étape 1 : Ici, \(a = 0\) et \(b = 0\)

Calculons \(f(2a – x) + f(x) = f(-x) + f(x)\) :

\(f(-x) + f(x) = (-x)^3 + x^3 = -x^3 + x^3 = 0 = 2b\)

Étape 2 : Comme \(f(2a – x) + f(x) = 2b\), le point \(\Omega(0; 0)\) est bien un centre de symétrie de la courbe \((C_f)\).

Étape 1 : Ici, \(a = 0\)

Calculons \(f(2a – x) = f(-x)\) :

\(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\)

Étape 2 : Comme \(f(2a – x) = f(x)\), la droite d’équation \(x = 0\) (l’axe des ordonnées) est bien un axe de symétrie de la courbe \((C_f)\).

Étape 1 : Calculons la dérivée : \(f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1) = 3(x-1)(x+1)\)

Étape 2 : Étudions le signe de \(f'(x)\) :

Le produit \(3(x-1)(x+1)\) change de signe en \(x = -1\) et \(x = 1\)

– Pour \(x < -1\) : \(f'(x) < 0\) donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty, -1[\)

– Pour \(-1 < x < 1\) : \(f'(x) < 0\) donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]-1, 1[\)

– Pour \(x > 1\) : \(f'(x) > 0\) donc \(f\) est strictement croissante sur \(]1, +\infty[\)

Étape 3 : Conclusion : \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty, 1[\) et strictement croissante sur \(]1, +\infty[\).

Étape 1 : La fonction \(f(x) = x^3\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est un polynôme. Donc \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

Étape 2 : Calculons \(f'(x) = 3x^2 \geq 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\)

\(f'(x) = 0\) si et seulement si \(x = 0\), donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)

Étape 3 : Déterminons l’intervalle \(J = f(\mathbb{R})\)

\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)

Comme \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’image de \(\mathbb{R}\) par \(f\) est \(\mathbb{R}\).

Étape 4 : La fonction \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et \(f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\). Donc \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\).

Étape 1 : Montrons que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur un ensemble à déterminer.

La fonction \(f(x) = e^x\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(f'(x) = e^x > 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\)

Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)

\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’image de \(\mathbb{R}\) par \(f\) est \(]0, +\infty[\)

Donc \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]0, +\infty[\)

Étape 2 : La fonction \(f\) admet une bijection réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(]0, +\infty[\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\).

Étape 3 : Pour déterminer \(f^{-1}\), on résout l’équation \(y = e^x\)

En appliquant le logarithme népérien : \(\ln(y) = x\)

Donc \(f^{-1}(y) = \ln(y)\)

Conclusion : La fonction \(f^{-1}\) est la fonction logarithme népérien, définie sur \(]0, +\infty[\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\).

Étape 1 : Commençons par étudier les variations de \(f\).

\(f'(x) = 2x\) qui est strictement positive sur \(]0,+\infty[\) et nulle en \(x=0\).

Donc \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\).

Étape 2 : Déterminons l’expression de \(f^{-1}\).

Si \(y = f(x) = x^2\), alors \(x = \sqrt{y}\) pour \(x \geq 0\) et \(y \geq 0\).

Donc \(f^{-1}(y) = \sqrt{y}\) pour tout \(y \in [0,+\infty[\).

Étape 3 : Puisque \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\), sa réciproque \(f^{-1}\) est également strictement croissante sur \([0,+\infty[\).

On peut vérifier directement que \((f^{-1})'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} > 0\) pour tout \(y > 0\), ce qui confirme que \(f^{-1}\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).

Conclusion : \(f^{-1}\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\).

Étape 1 : Résolvons \(f(x) = y\)

\(f(x) = y \Leftrightarrow 2x – 1 = y \Leftrightarrow x = \frac{y+1}{2} = f^{-1}(y)\)

Étape 2 : On remplace \(y\) par \(x\) pour obtenir l’expression de \(f^{-1}(x)\)

Conclusion : \(f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2}\)

Soit \(f(x) = x^3 + x – 2\).

Étape 1 : La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) car c’est une fonction polynôme.

Étape 2 : Calculons \(f'(x) = 3x^2 + 1\).

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f'(x) > 0\) car \(3x^2 \geq 0\) et \(1 > 0\).

Donc \(f\) est strictement croissante sur \([0, 2]\).

Étape 3 : Comme \(f\) est continue et strictement croissante sur \([0, 2]\), \(f\) réalise une bijection de \([0, 2]\) sur \([f(0), f(2)]\).

Étape 4 : Calculons \(f(0) = 0^3 + 0 – 2 = -2\) et \(f(2) = 2^3 + 2 – 2 = 8 + 2 – 2 = 8\).

Donc \(f([0, 2]) = [-2, 8]\).

On a \(0 \in [-2, 8]\), donc l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0, 2]\).

Étape 5 : Pour montrer que \(\alpha \in ]0, 1[\), calculons \(f(0) = -2\) et \(f(1) = 1^3 + 1 – 2 = 1 + 1 – 2 = 0\).

Donc \(f(0) \times f(1) = -2 \times 0 = 0\).

Mais \(f(0) < 0\) et \(f(1) = 0\), donc \(\alpha = 1\).

Conclusion : L’équation \(x^3 + x – 2 = 0\) admet une unique solution \(\alpha = 1\) dans \([0, 2]\).

Soit \(f(x) = e^x\).

Étape 1 : La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) car elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Étape 2 : Calculons \(f'(x) = e^x\).

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f'(x) > 0\) car \(e^x > 0\).

Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Étape 3 : Comme \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(f(\mathbb{R})\).

Étape 4 : \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

Donc \(f(\mathbb{R}) = ]0, +\infty[\).

Comme \(3 \in ]0, +\infty[\), l’équation \(f(x) = 3\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\).

Étape 5 : Pour montrer que \(\alpha \in ]1, 2[\), calculons \(f(1) = e^1 = e \approx 2.718\) et \(f(2) = e^2 \approx 7.389\).

Donc \(f(]1, 2[) = ]e, e^2[ = ]2.718, 7.389[\).

Comme \(3 \in ]2.718, 7.389[\), on en déduit que \(\alpha \in ]1, 2[\).

Conclusion : L’équation \(e^x = 3\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\) et \(\alpha \in ]1, 2[\).

Étape 1 : L’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(x_0\) est donnée par :

\(y = f'(x_0)(x – x_0) + f(x_0)\)

Étape 2 : Calculons \(f'(x) = 2x – 3\)

Donc \(f'(1) = 2 \times 1 – 3 = -1\)

Et \(f(1) = 1^2 – 3 \times 1 + 2 = 1 – 3 + 2 = 0\)

Étape 3 : L’équation de la tangente est :

\(y = -1 \times (x – 1) + 0\)

\(y = -x + 1\)

Conclusion : L’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(x_0 = 1\) est \(y = -x + 1\).

Étape 1 : La tangente est parallèle à la droite d’équation \(y = 3x + 2\) si et seulement si elle a le même coefficient directeur, c’est-à-dire \(m = 3\).

Calculons \(f'(x) = 3x^2 – 3\)

Résolvons \(f'(a) = 3\) :

\(3a^2 – 3 = 3\)

\(3a^2 = 6\)

\(a^2 = 2\)

\(a = \pm\sqrt{2}\)

Étape 2 : Calculons \(f(\sqrt{2})\) et \(f(-\sqrt{2})\) :

\(f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 – 3\sqrt{2} + 1 = 2\sqrt{2} – 3\sqrt{2} + 1 = -\sqrt{2} + 1\)

\(f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 – 3(-\sqrt{2}) + 1 = -2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 1 = \sqrt{2} + 1\)

Étape 3 : Les points cherchés sont :

\(A_1(\sqrt{2} ; -\sqrt{2} + 1)\) et \(A_2(-\sqrt{2} ; \sqrt{2} + 1)\)

Conclusion : Il y a deux points où la tangente est parallèle à la droite d’équation \(y = 3x + 2\).

Étape 1 : La tangente est perpendiculaire à la droite d’équation \(y = 2x – 3\) si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.

Le coefficient directeur de la droite est \(m = 2\).

Donc le coefficient directeur de la tangente doit être \(-\frac{1}{m} = -\frac{1}{2}\).

Calculons \(f'(x) = 2x – 4\)

Résolvons \(f'(a) = -\frac{1}{2}\) :

\(2a – 4 = -\frac{1}{2}\)

\(2a = -\frac{1}{2} + 4 = \frac{7}{2}\)

\(a = \frac{7}{4}\)

Étape 2 : Calculons \(f(a)\) :

\(f(\frac{7}{4}) = (\frac{7}{4})^2 – 4(\frac{7}{4}) + 5 = \frac{49}{16} – \frac{28}{4} + 5 = \frac{49}{16} – 7 + 5 = \frac{49}{16} – \frac{112}{16} + \frac{80}{16} = \frac{49 – 112 + 80}{16} = \frac{17}{16}\)

Étape 3 : Le point cherché est \(A(\frac{7}{4} ; \frac{17}{16})\)

Conclusion : Le point de la courbe où la tangente est perpendiculaire à la droite d’équation \(y = 2x – 3\) est le point \(A(\frac{7}{4} ; \frac{17}{16})\).

Étape 1 : Calculons les dérivées des fonctions \(f\) et \(g\) :

\(f'(x) = 2x\)

\(g'(x) = -\frac{1}{x^2}\)

Évaluons ces dérivées en \(a = 1\) :

\(f'(1) = 2 \times 1 = 2\)

\(g'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1\)

Calculons \(f'(1) \times g'(1)\) :

\(f'(1) \times g'(1) = 2 \times (-1) = -2\)

Étape 2 : Pour que les tangentes soient perpendiculaires, il faut que le produit des coefficients directeurs soit égal à -1.

Ici, \(f'(1) \times g'(1) = -2 \neq -1\), donc les tangentes ne sont pas perpendiculaires au point d’abscisse \(a = 1\).

Conclusion : Au point d’abscisse \(a = 1\), les tangentes aux courbes représentatives de \(f\) et \(g\) ne sont pas perpendiculaires.

Note: En fait, ces tangentes seraient perpendiculaires si \(f'(1) \times g'(1) = -1\), ce qui serait le cas si \(g(x) = -\frac{1}{2x}\) par exemple.

Étape 1 : Résolvons l’équation \(f(x) = g(x)\) :

\(x^2 – 2x + 3 = 2x – 1\)

\(x^2 – 2x – 2x + 3 + 1 = 0\)

\(x^2 – 4x + 4 = 0\)

\((x – 2)^2 = 0\)

\(x = 2\)

Étape 2 : Calculons \(f(2)\) :

\(f(2) = 2^2 – 2 \times 2 + 3 = 4 – 4 + 3 = 3\)

On peut vérifier que \(g(2) = 2 \times 2 – 1 = 4 – 1 = 3\)

Étape 3 : Le point d’intersection est \(M(2 ; 3)\)

Conclusion : Les courbes représentatives des fonctions \(f\) et \(g\) se coupent en un unique point de coordonnées \(M(2 ; 3)\).

Étape 1 : Résolvons l’équation \(f(x) = mx + p\) :

\(x^2 – 1 = x + 3\)

\(x^2 – x – 4 = 0\)

Le discriminant est \(\Delta = 1 + 16 = 17\).

\(x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \approx 2.56\)

\(x_2 = \frac{1 – \sqrt{17}}{2} \approx -1.56\)

Étape 2 : Calculons \(f(x_1)\) et \(f(x_2)\) :

\(f(x_1) = x_1^2 – 1 = (\frac{1 + \sqrt{17}}{2})^2 – 1 = \frac{(1 + \sqrt{17})^2}{4} – 1 = \frac{1 + 2\sqrt{17} + 17}{4} – 1 = \frac{18 + 2\sqrt{17}}{4} – 1 = \frac{18 + 2\sqrt{17} – 4}{4} = \frac{14 + 2\sqrt{17}}{4} = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}\)

On peut vérifier que \(f(x_1) = x_1 + 3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} + 3 = \frac{1 + \sqrt{17} + 6}{2} = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}\).

De même, \(f(x_2) = x_2^2 – 1 = (\frac{1 – \sqrt{17}}{2})^2 – 1 = \frac{(1 – \sqrt{17})^2}{4} – 1 = \frac{1 – 2\sqrt{17} + 17}{4} – 1 = \frac{18 – 2\sqrt{17}}{4} – 1 = \frac{14 – 2\sqrt{17}}{4} = \frac{7 – \sqrt{17}}{2}\)

On peut vérifier que \(f(x_2) = x_2 + 3 = \frac{1 – \sqrt{17}}{2} + 3 = \frac{1 – \sqrt{17} + 6}{2} = \frac{7 – \sqrt{17}}{2}\).

Étape 3 : Les points d’intersection sont :

\(M_1(x_1 ; f(x_1)) = M_1(\frac{1 + \sqrt{17}}{2} ; \frac{7 + \sqrt{17}}{2})\)

\(M_2(x_2 ; f(x_2)) = M_2(\frac{1 – \sqrt{17}}{2} ; \frac{7 – \sqrt{17}}{2})\)

Conclusion : La courbe représentative de \(f\) et la droite d’équation \(y = x + 3\) se coupent en deux points \(M_1\) et \(M_2\).

Avec l’axe des abscisses :

Étape 1 : Résolvons \(f(x) = 0\) :

\(x^2 – 4x + 3 = 0\)

\(\Delta = 16 – 12 = 4\)

\(x_1 = \frac{4 – 2}{2} = 1\) et \(x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\)

Étape 2 : Les points d’intersection avec l’axe des abscisses sont :

\(M_1(1 ; 0)\) et \(M_2(3 ; 0)\)

Avec l’axe des ordonnées :

Étape 1 : Calculons \(f(0)\) :

\(f(0) = 0^2 – 4 \times 0 + 3 = 0 – 0 + 3 = 3\)

Étape 2 : Le point d’intersection avec l’axe des ordonnées est :

\(M_0(0 ; 3)\)

Conclusion : La courbe représentative de \(f\) coupe l’axe des abscisses en deux points \(M_1(1 ; 0)\) et \(M_2(3 ; 0)\), et l’axe des ordonnées en un point \(M_0(0 ; 3)\).

Étape 1 : Étudions d’abord les variations de la fonction.

\(f'(x) = 2x – 4\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

\(f'(x) < 0\) pour \(x < 2\) et \(f'(x) > 0\) pour \(x > 2\)

Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty, 2[\) et strictement croissante sur \([2, +\infty[\)

\(f(2) = 2^2 – 4 \times 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = -1\)

Étape 2 : Déterminons les points d’intersection avec les axes.

\(f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x – 3) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) ou \(x = 3\)

\(f(0) = 0^2 – 4 \times 0 + 3 = 3\)

Étape 3 : Établissons le tableau de variations.

\(x\)	\(-\infty\)	\(2\)	\(+\infty\)
\(f'(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(+\infty\)	\(-1\)	\(+\infty\)

Étape 4 : Traçons la courbe en plaçant les points particuliers :

– Minimum en \((2, -1)\)

– Intersections avec l’axe des abscisses en \((1, 0)\) et \((3, 0)\)

– Intersection avec l’axe des ordonnées en \((0, 3)\)

La courbe est une parabole ouverte vers le haut, avec son sommet au point \((2, -1)\).

Étape 1 : La courbe \((C_{f^{-1}})\) est symétrique de \((C_f)\) par rapport à la droite d’équation \(y = x\).

Étape 2 : Pour tracer \((C_{f^{-1}})\), il suffit de prendre quelques points caractéristiques de \((C_f)\) et de calculer leurs symétriques par rapport à la droite \(y = x\).

Par exemple, si \((C_f)\) passe par les points \(A(1, 2)\), \(B(2, 3)\) et \(C(3, 5)\), alors \((C_{f^{-1}})\) passera par les points \(A'(2, 1)\), \(B'(3, 2)\) et \(C'(5, 3)\).

Pour obtenir le symétrique d’un point \(M(a, b)\) par rapport à la droite \(y = x\), il suffit d’échanger ses coordonnées pour obtenir le point \(M'(b, a)\).

Conclusion : La courbe \((C_{f^{-1}})\) est obtenue en traçant la symétrique de \((C_f)\) par rapport à la droite \(y = x\).

Étape 1 : Identifions d’abord quelques points caractéristiques de la courbe \((C_f)\).

La fonction \(f(x) = x^2 – 2\) est représentée par une parabole dont l’axe de symétrie est l’axe des ordonnées.

Calculons quelques valeurs :

\(f(0) = 0^2 – 2 = -2\)

\(f(1) = 1^2 – 2 = -1\)

\(f(2) = 2^2 – 2 = 2\)

La courbe \((C_f)\) passe donc par les points \((0, -2)\), \((1, -1)\), \((2, 2)\) et est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Étape 2 : Pour obtenir la courbe \((C_g)\), nous prenons la symétrique de \((C_f)\) par rapport à l’axe des abscisses.

Les points caractéristiques de \((C_g)\) seront alors :

\(g(0) = -f(0) = -(-2) = 2\)

\(g(1) = -f(1) = -(-1) = 1\)

\(g(2) = -f(2) = -(2) = -2\)

La courbe \((C_g)\) passe donc par les points \((0, 2)\), \((1, 1)\), \((2, -2)\) et est également symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Conclusion : La courbe \((C_g)\) est la symétrique de la courbe \((C_f)\) par rapport à l’axe des abscisses. C’est une parabole orientée vers le bas, tandis que \((C_f)\) est orientée vers le haut.

Étape 1 : Étudions d’abord la fonction \(f\) pour déterminer où elle est positive et où elle est négative.

Résolvons \(f(x) = 0\) :

\(x^3 – 4x = 0\)

\(x(x^2 – 4) = 0\)

\(x(x – 2)(x + 2) = 0\)

Les solutions sont \(x = 0\), \(x = 2\) et \(x = -2\).

Étudions le signe de \(f\) :

– Pour \(x \in ]-\infty, -2[\), \(f(x) < 0\)

– Pour \(x \in ]-2, 0[\), \(f(x) > 0\)

– Pour \(x \in ]0, 2[\), \(f(x) < 0\)

– Pour \(x \in ]2, +\infty[\), \(f(x) > 0\)

Étape 2 : Traçons maintenant \((C_g)\) :

– Pour \(x \in ]-2, 0[ \cup ]2, +\infty[\), \(f(x) \geq 0\), donc \((C_g)\) coïncide avec \((C_f)\)

– Pour \(x \in ]-\infty, -2[ \cup ]0, 2[\), \(f(x) \leq 0\), donc \((C_g)\) est symétrique à \((C_f)\) par rapport à l’axe des abscisses

Conclusion : La courbe \((C_g)\) correspond à la courbe \((C_f)\) pour les valeurs de \(x\) où \(f(x) \geq 0\), et à la symétrique de \((C_f)\) par rapport à l’axe des abscisses pour les valeurs de \(x\) où \(f(x) \leq 0\). La courbe \((C_g)\) ne comporte que des ordonnées positives ou nulles, et touche l’axe des abscisses aux points d’abscisses -2, 0 et 2.

Étape 1 : Identifions quelques points caractéristiques de la courbe \((C_f)\).

La fonction \(f(x) = x^2 + x\) peut se réécrire sous la forme \(f(x) = (x + \frac{1}{2})^2 – \frac{1}{4}\)

C’est donc une parabole dont le sommet est au point \((-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})\).

Calculons quelques valeurs :

\(f(-2) = (-2)^2 + (-2) = 4 – 2 = 2\)

\(f(-1) = (-1)^2 + (-1) = 1 – 1 = 0\)

\(f(0) = 0^2 + 0 = 0\)

\(f(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2\)

Étape 2 : Pour obtenir la courbe \((C_g)\), nous prenons la symétrique de \((C_f)\) par rapport à l’axe des ordonnées.

Les points caractéristiques de \((C_f)\) deviennent :

\((-2, 2) \to (2, 2)\)

\((-1, 0) \to (1, 0)\)

\((0, 0) \to (0, 0)\)

\((1, 2) \to (-1, 2)\)

Le sommet \((-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})\) devient \((\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})\)

Conclusion : La courbe \((C_g)\) est la symétrique de la courbe \((C_f)\) par rapport à l’axe des ordonnées. C’est une parabole ouverte vers le haut dont le sommet est au point \((\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})\).

Étape 1 : Identifions d’abord quelques caractéristiques de la fonction \(f\).

La fonction \(f(x) = x^2 – 2x + 1\) peut se réécrire sous la forme \(f(x) = (x – 1)^2\)

C’est donc une parabole dont le sommet est au point \((1, 0)\).

Calculons quelques valeurs :

\(f(0) = 0^2 – 2 \times 0 + 1 = 1\)

\(f(1) = 1^2 – 2 \times 1 + 1 = 1 – 2 + 1 = 0\)

\(f(2) = 2^2 – 2 \times 2 + 1 = 4 – 4 + 1 = 1\)

\(f(3) = 3^2 – 2 \times 3 + 1 = 9 – 6 + 1 = 4\)

Étape 2 : Pour tracer \((C_g)\), nous utilisons le fait que :

– Pour \(x \geq 0\), \(g(x) = f(|x|) = f(x)\), donc \((C_g)\) coïncide avec \((C_f)\)

– Pour \(x \leq 0\), \(g(x) = f(|x|) = f(-x)\), donc \((C_g)\) est symétrique à \((C_f)\) par rapport à l’axe des ordonnées

Pour \(x \leq 0\), nous avons :

\(g(-1) = f(|-1|) = f(1) = 0\)

\(g(-2) = f(|-2|) = f(2) = 1\)

\(g(-3) = f(|-3|) = f(3) = 4\)

Conclusion : La courbe \((C_g)\) est formée de la partie de \((C_f)\) correspondant à \(x \geq 0\), et de sa symétrique par rapport à l’axe des ordonnées pour \(x \leq 0\). C’est une parabole ouverte vers le haut, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, et dont le minimum est atteint au point \((0, 1)\).

Étape 1 : La fonction \(f(x) = x^2\) est représentée par une parabole passant par l’origine et ouverte vers le haut.

Calculons quelques valeurs :

\(f(-2) = (-2)^2 = 4\)

\(f(-1) = (-1)^2 = 1\)

\(f(0) = 0^2 = 0\)

\(f(1) = 1^2 = 1\)

\(f(2) = 2^2 = 4\)

Étape 2 : La courbe \((C_g)\) est obtenue à partir de la courbe \((C_f)\) par la translation de vecteur \(3\vec{i} + 2\vec{j}\).

Cela signifie que chaque point \((x, y)\) de \((C_f)\) est transformé en un point \((x+3, y+2)\) de \((C_g)\).

Ainsi :

\(f(-2) = 4 \to g(1) = 6\)

\(f(-1) = 1 \to g(2) = 3\)

\(f(0) = 0 \to g(3) = 2\)

\(f(1) = 1 \to g(4) = 3\)

\(f(2) = 4 \to g(5) = 6\)

Conclusion : La courbe \((C_g)\) est une parabole identique à \((C_f)\) mais décalée de 3 unités vers la droite et de 2 unités vers le haut. Son sommet est au point \((3, 2)\).

Étape 1 : Déterminons où la fonction change de signe sur l’intervalle \([0, 3]\).

Résolvons \(f(x) = 0\) :

\(x^2 – 4 = 0\)

\(x^2 = 4\)

\(x = \pm 2\)

Donc \(f(x) = 0\) pour \(x = 2\) (car \(x \in [0, 3]\)).

Étape 2 : Déterminons le signe de \(f\) sur l’intervalle \([0, 3]\).

Pour \(x \in [0, 2[\), \(f(x) < 0\) (car \(x^2 < 4\)).

Pour \(x \in ]2, 3]\), \(f(x) > 0\) (car \(x^2 > 4\)).

Étape 3 : Calculons l’aire en la découpant en deux parties :

– Pour \(x \in [0, 2]\), \(f(x) \leq 0\), donc l’aire est donnée par \(A_1 = -\int_0^2 f(x) dx\).

– Pour \(x \in [2, 3]\), \(f(x) \geq 0\), donc l’aire est donnée par \(A_2 = \int_2^3 f(x) dx\).

Calculons \(A_1\) :

\(A_1 = -\int_0^2 (x^2 – 4) dx = -[\frac{x^3}{3} – 4x]_0^2 = -([\frac{2^3}{3} – 4 \times 2] – [\frac{0^3}{3} – 4 \times 0]) = -([\frac{8}{3} – 8] – 0) = -(-\frac{16}{3}) = \frac{16}{3}\)

Calculons \(A_2\) :

\(A_2 = \int_2^3 (x^2 – 4) dx = [\frac{x^3}{3} – 4x]_2^3 = [\frac{3^3}{3} – 4 \times 3] – [\frac{2^3}{3} – 4 \times 2] = [9 – 12] – [\frac{8}{3} – 8] = -3 – (-\frac{16}{3}) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{-9 + 16}{3} = \frac{7}{3}\)

L’aire totale est donc :

\(A = A_1 + A_2 = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}\)

Conclusion : L’aire du domaine est \(\frac{23}{3}\) unités d’aire.

Étape 1 : Déterminons les positions relatives de la courbe et de la droite sur l’intervalle \([0, 3]\).

Résolvons \(f(x) = 4\) :

\(x^2 = 4\)

\(x = \pm 2\)

Comme \(x \in [0, 3]\), seule la solution \(x = 2\) est valable.

Étape 2 : Comparons \(f(x)\) et \(4\) sur l’intervalle \([0, 3]\).

Pour \(x \in [0, 2[\), \(f(x) = x^2 < 4\), donc la courbe est en-dessous de la droite.

Pour \(x \in ]2, 3]\), \(f(x) = x^2 > 4\), donc la courbe est au-dessus de la droite.

Étape 3 : Calculons l’aire en la découpant en deux parties :

– Pour \(x \in [0, 2]\), \(f(x) \leq 4\), donc l’aire est \(A_1 = \int_0^2 [4 – x^2] dx\).

– Pour \(x \in [2, 3]\), \(f(x) \geq 4\), donc l’aire est \(A_2 = \int_2^3 [x^2 – 4] dx\).

Calculons \(A_1\) :

\(A_1 = \int_0^2 [4 – x^2] dx = [4x – \frac{x^3}{3}]_0^2 = [4 \times 2 – \frac{2^3}{3}] – [4 \times 0 – \frac{0^3}{3}] = [8 – \frac{8}{3}] – 0 = \frac{24 – 8}{3} = \frac{16}{3}\)

Calculons \(A_2\) :

\(A_2 = \int_2^3 [x^2 – 4] dx = [\frac{x^3}{3} – 4x]_2^3 = [\frac{3^3}{3} – 4 \times 3] – [\frac{2^3}{3} – 4 \times 2] = [9 – 12] – [\frac{8}{3} – 8] = -3 – (-\frac{16}{3}) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{-9 + 16}{3} = \frac{7}{3}\)

L’aire totale est donc :

\(A = A_1 + A_2 = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}\)

Conclusion : L’aire du domaine est \(\frac{23}{3}\) unités d’aire.

Étape 1 : Calculons d’abord \(f^2(x)\).

\(f^2(x) = (\sqrt{x})^2 = x\)

Étape 2 : Appliquons la formule du volume de révolution.

\(\mathcal{V} = \pi \int_1^4 f^2(x) dx = \pi \int_1^4 x dx = \pi [\frac{x^2}{2}]_1^4 = \pi [\frac{4^2}{2} – \frac{1^2}{2}] = \pi [\frac{16 – 1}{2}] = \pi \times \frac{15}{2} = \frac{15\pi}{2}\)

Conclusion : Le volume du solide de révolution est \(\frac{15\pi}{2}\) unités de volume.

Étape 1 : Calculons \(F'(x)\).

\(F'(x) = \frac{1}{3} \times 3x^2 – 2 \times 2x + 5 \times 1 = x^2 – 4x + 5\)

Étape 2 : Vérifions si \(F'(x) = f(x)\).

\(F'(x) = x^2 – 4x + 5 = f(x)\)

Conclusion : Comme \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), la fonction \(F\) est bien une primitive de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Étape 1 : Calculons \(F'(x)\) en fonction de \(a\) et \(b\).

\(F'(x) = 3ax^2 + 2bx\)

Étape 2 : Pour que \(F\) soit une primitive de \(f\), il faut que \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

\(F'(x) = f(x)\)

\(3ax^2 + 2bx = 3x^2 + 4x\)

En identifiant les coefficients, nous obtenons :

Pour \(x^2\) : \(3a = 3\), donc \(a = 1\)

Pour \(x\) : \(2b = 4\), donc \(b = 2\)

Conclusion : Les valeurs de \(a\) et \(b\) sont \(a = 1\) et \(b = 2\).

D’après le théorème fondamental de l’analyse, la fonction \(F\) définie par \(F(x) = \int_0^x f(t) dt\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sa dérivée est :

\(F'(x) = f(x)\)

De plus, \(F(0) = \int_0^0 f(t) dt = 0\)

Conclusion : La fonction \(F\) est la primitive de \(f\) qui s’annule en 0.

La fonction \(t \mapsto t^2 \sin(t)\) est continue sur \(\mathbb{R}\) car c’est le produit de deux fonctions continues.

D’après le théorème fondamental de l’analyse, la fonction \(F\) définie par \(F(x) = \int_1^x t^2 \sin(t) dt\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sa dérivée est :

\(F'(x) = x^2 \sin(x)\)

Conclusion : La fonction \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(F'(x) = x^2 \sin(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

Étape 1 : Vérifions que la fonction \(f(x) = 4-x^2\) est positive sur l’intervalle \([0, 3]\).

La fonction \(f\) s’annule pour \(x^2 = 4\), c’est-à-dire pour \(x = \pm 2\).

Pour \(x \in [0, 2]\), nous avons \(f(x) \geq 0\).

Pour \(x \in [2, 3]\), nous avons \(f(x) \leq 0\).

Étape 2 : L’intégrale \(\int_0^3 (4-x^2) dx\) peut s’écrire comme la différence de deux intégrales :

\(\int_0^3 (4-x^2) dx = \int_0^2 (4-x^2) dx + \int_2^3 (4-x^2) dx\)

Étape 3 : Interprétation géométrique :

– \(\int_0^2 (4-x^2) dx\) représente l’aire du domaine limité par la courbe d’équation \(y = 4-x^2\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 2\).

– \(\int_2^3 (4-x^2) dx\) est négative et représente l’opposé de l’aire du domaine limité par la courbe d’équation \(y = 4-x^2\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 2\) et \(x = 3\).

Conclusion : L’intégrale \(\int_0^3 (4-x^2) dx\) représente l’aire du domaine limité par la courbe d’équation \(y = 4-x^2\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 2\), moins l’aire du domaine limité par la courbe d’équation \(y = 4-x^2\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 2\) et \(x = 3\).