Série de révision N°1

Exercice 1

Soit f la fonction définie sur \([1,+\infty[\) par : \(f(x)=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+1\).

On désigne par \((C_f)\) sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormé \(O,\vec{i},\vec{j}\).

1. Calculer \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}} f(x)\). Interpréter le résultat graphiquement.

2. 1. Étudier la dérivabilité de f à droite en 1. Interpréter graphiquement le résultat.

   2. Justifier que f est dérivable sur \(]1,+\infty[\) et que \(\forall x \in ]1,+\infty[ : f'(x)=\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}}\).

   3. Dresser le tableau de variation de f.

   4. Tracer \((C_f)\).

3. 1. Montrer que pour tout réel x de \([\frac{3}{2},+\infty[ : |f'(x)|\leq\frac{1}{2}\).

   2. Montrer que l’équation \(f(x)=x\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \([\frac{3}{2},+\infty[\) et que \(1,8<\alpha<1,9\).

4. 1. Justifier que f admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle I que l’on précisera.

   2. Tracer dans le même repère la courbe \((\Gamma)\) de la fonction \(f^{-1}\).

   3. Expliciter \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\in I\).

5. Soit \((u_n)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(\begin{cases}u_0=\frac{3}{2}\\u_{n+1}=f(u_n)\end{cases}\)

   1. Montrer que \(\forall n\in\mathbb{N} : u_n\geq\frac{3}{2}\).

   2. Montrer que \(\forall n\in\mathbb{N} : |u_{n+1}-\alpha|\leq\frac{1}{2}|u_n-\alpha|\).

   3. Déduire que \(\forall n\in\mathbb{N} : |u_n-\alpha|\leq(\frac{1}{2})^n\).

   4. Montrer que \(u_{10}\) est une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-3}\) près.

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur \(]0,\frac{\pi}{2}[\) par : \(f(x)=\frac{1}{\sin x}\).

1. Montrer que f établit une bijection de \(]0,\frac{\pi}{2}[\) sur un intervalle que l’on précisera.

2. Construire dans un même repère orthonormé les courbes représentatives de f et \(f^{-1}\).

3. 1. \(f^{-1}\) est-elle dérivable à droite en 1 ?

   2. Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable sur \(]1,+\infty[\) et que \(\forall x\in]1,+\infty[\) : \((f^{-1})'(x)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)

4. 1. Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), l’équation : \(f(x)=n\) possède une unique solution \(\alpha_n\) dans \(]0,\frac{\pi}{2}[\).

   2. Déterminer \(\alpha_1\) et \(\alpha_2\).

   3. Montrer que la suite \((\alpha_n)\) est décroissante.

   4. Déduire que la suite \((\alpha_n)\) est convergente et calculer sa limite.

Exercice 3

1. Soit dans \(\mathbb{C}\) l’équation (E) : \(z^3-(2+4i)z^2-4z-8=0\).

   1. Vérifier que 2i est une solution de (E).

   2. Vérifier que pour tout nombre complexe z : \(z^3-(2+4i)z^2-4z-8=(z-2i)(z^2-2(1+i)z-4i)\).

   3. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation (E).

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{u},\vec{v})\).

   On considère les points A, B et C d’affixes respectives : \(z_A=2i\), \(z_B=(1+\sqrt{3})(1+i)\) et \(z_C=(1-\sqrt{3})(1+i)\).

   On désigne par I le milieu de [BC].

   1. Écrire \(z_A\), \(z_B\), \(z_C\) sous forme exponentielle.

   2. Montrer que \(AB=AC=2\sqrt{2}\).

   3. Placer le point A puis construire les points B, C et I.

3. Soit D le point d’affixe \(z_D=2\cos\theta e^{i\theta}\) avec \(\theta\in[0,\pi]\).

   1. Déterminer l’ensemble des points D quand \(\theta\) varie dans \([0,\pi]\).

   2. Déterminer les valeurs du réel \(\theta\) tels que ABDC est un losange.

   3. Pour les valeurs du réel \(\theta\) trouvées précédemment prouver que l’aire du losange ABDC est égale à \(4\sqrt{3}\).