I. Généralités sur les Semiconducteurs

Les semiconducteurs constituent la base des composants électroniques modernes (diodes, transistors) et optoélectroniques (photo-détecteurs, photoémetteurs). Leur particularité réside dans leur résistivité intermédiaire.

Classification par Résistivité

\[\text{Métaux : } \rho_m = 10^{-8} – 10^{-3} \:\Omega\text{cm}\] \[\text{Semiconducteurs : } \rho_{sc} = 10^{-3} – 10^5 \:\Omega\text{cm}\] \[\text{Isolants : } \rho_i = 10^6 – 10^{18} \:\Omega\text{cm}\]

Exemples importants à retenir :

\[\begin{aligned} \text{Cuivre : } &\rho_{Cu} = 1,7\times10^{-6} \:\Omega\text{cm}\\ \text{Aluminium : } &\rho_{Al} = 2,7\times10^{-6} \:\Omega\text{cm}\\ \text{Or : } &\rho_{Au} = 3,2\times10^{-6} \:\Omega\text{cm}\\ \text{Tungstène : } &\rho_W = 10^{-5} \:\Omega\text{cm} \end{aligned}\]

II. Structure Électronique et Bandes d’Énergie – Analyse Approfondie

A. Formation des Niveaux d’Énergie

Dans un atome isolé, les électrons occupent des niveaux d’énergie discrets caractérisés par quatre nombres quantiques fondamentaux :

\[\text{Couches principales : } n = 1, 2, 3, 4, … \text{ (K, L, M, N, …)}\] \[\text{Sous-couches : } \ell = 0, 1, 2, 3, … \text{ (s, p, d, f, …)}\] \[\text{États magnétiques : } m_\ell = 0, \pm1, \pm2, …, \pm\ell\] \[\text{Spin : } s = \pm\frac{1}{2}\]

B. Règle de Remplissage de Klechkowski

Le remplissage des couches électroniques suit l’ordre croissant de la somme (n + ℓ) :

\[\text{Ordre : } 1s \rightarrow 2s \rightarrow 2p \rightarrow 3s \rightarrow 3p \rightarrow 4s \rightarrow 3d \rightarrow …\]

C. Formation des Bandes dans le Solide

Lorsque N atomes se rapprochent pour former un cristal (N ≈ 10²³ cm⁻³), plusieurs phénomènes se produisent :

1. Levée de Dégénérescence

\[\text{Distance interatomique : } d \ll 2r \text{ (r : rayon atomique)}\] \[\text{Nombre d’états par bande : } 2N \text{ (principe de Pauli)}\]

2. Structure de Bandes

Formation de trois types de bandes principales :

\[\text{Bandes profondes : } E \ll E_v\] \[\text{Bande de valence : } E \approx E_v\] \[\text{Bande de conduction : } E \geq E_c\] \[\text{Gap : } E_g = E_c – E_v\]

3. Largeur des Bandes

\[\text{Bande 1s (proche du noyau) : } \approx 10^{-3} \text{ eV}\] \[\text{Bande de valence : } \approx 10 \text{ eV}\] \[\text{Bande de conduction : } \approx 20 \text{ eV}\]

III. Distinction Métal-Semiconducteur-Isolant – Analyse Détaillée

A. Niveau de Fermi et Potentiel Électrochimique

Le niveau de Fermi est défini par le potentiel électrochimique du matériau :

\[E_f = \mu – e\Phi\] \[\text{où } \mu \text{ : potentiel chimique}\] \[\Phi \text{ : potentiel électrostatique}\] \[e = 1,60217733 \times 10^{-19} \text{ C}\]

B. Analyse par Type de Matériau

1. Métaux

Caractéristiques principales :

\[E_f \text{ situé dans la BC}\] \[\text{Bande partiellement remplie}\] \[\text{Conductivité : } \sigma \approx 10^5 – 10^6 \:\Omega^{-1}\text{cm}^{-1}\]

2. Semiconducteurs

Propriétés fondamentales :

\[E_f \text{ dans la bande interdite}\] \[0,5 \text{ eV} \leq E_g \leq 3 \text{ eV}\] \[\text{Conductivité température-dépendante : } \sigma(T) = \sigma_0 e^{-E_g/2k_BT}\]

3. Isolants

Caractéristiques distinctives :

\[E_f \text{ dans la bande interdite}\] \[E_g > 3 \text{ eV}\] \[\text{BC totalement vide à } T = 0\text{ K}\]

C. Comparaison des Gaps à 300K

\[\begin{aligned} \text{Silicium (Si) : } &E_g = 1,12 \text{ eV}\\ \text{Germanium (Ge) : } &E_g = 0,66 \text{ eV}\\ \text{Diamant (C) : } &E_g = 5,47 \text{ eV}\\ \text{Arséniure de Gallium (GaAs) : } &E_g = 1,42 \text{ eV} \end{aligned}\]

IV. Densité d’États dans l’Espace Réciproque

A. Fonctions d’Onde et Vecteurs d’Onde

Les électrons sont décrits par des fonctions d’onde Ψ(r,t) avec des conditions aux limites cycliques :

\[\Psi(\vec{r} + \vec{L_i}) = \Psi(\vec{r})\] \[\text{avec } \vec{L_i} = N_i\vec{a_i}\]

B. Expression de la Densité d’États

\[g(\vec{k}) = \frac{2V}{(2\pi)^3}\] \[\text{où V est le volume du cristal}\]

V. Loi de Dispersion E(k)

A. Expression Générale

Au voisinage d’un extremum k⃗o :

\[E(\vec{k}) = E(\vec{k_o}) + \frac{\hbar^2}{2}\sum_{i,j}\frac{1}{m_{ij}^*}(k_i-k_{oi})(k_j-k_{oj})\]

B. Masse Effective

\[m_{ij}^* = \hbar^2\frac{\partial^2E(\vec{k})}{\partial k_i\partial k_j}\]

VI. Types de Semiconducteurs

A. Semiconducteurs à Gap Direct

Le minimum de la BC et le maximum de la BV sont au même point k. Exemple : GaAs, GaN, AlN

\[E_{gap} = E_c(\vec{k_o}) – E_v(\vec{k_o})\]

B. Semiconducteurs à Gap Indirect

Le minimum de la BC et le maximum de la BV sont à des k⃗ différents. Exemple : Si, Ge

\[E_{gap} = E_c(\vec{k_{c}}) – E_v(\vec{k_{v}})\] \[\text{avec } \vec{k_c} \neq \vec{k_v}\]

VII. Densité d’États en Énergie \(\mathcal{N}(E)\)

A. Définition Fondamentale

La densité d’états \(\mathcal{N}(E)\) est définie comme le nombre d’états électroniques par unité d’énergie :

\[\mathcal{N}(E)dE = \text{nombre d’états entre } E \text{ et } E + dE\] \[\mathcal{N}(E)dE = \int g(\vec{k})d^3\vec{k}\] \[\mathcal{N}(E) = g(\vec{k})\frac{\int d^3\vec{k}}{dE} = g(\vec{k})\frac{dS_{\vec{k}}}{dE}\]

B. États dans la Bande de Conduction

1. Semiconducteur Univallée

Pour \(\vec{k}_0 = \vec{0}\) et \(E(\vec{k}_0) = E_c\) :

\[E = E_c + \frac{\hbar^2k^2}{2m_c^*}\] \[k = \sqrt{\frac{2m_c^*(E-E_c)}{\hbar^2}}\] \[\int d^3\vec{k} = 4\pi k^2dk = 4\pi\frac{2m_c^*}{\hbar^2}\sqrt{\frac{2m_c^*(E-E_c)}{\hbar^2}}dE\] \[\mathcal{N}_c(E) = \frac{V}{2\pi^2}\left(\frac{2m_c^*}{\hbar^2}\right)^{3/2}(E-E_c)^{1/2}\]

2. Semiconducteur Multivallée

Pour \(\vec{k}_0 \neq \vec{0}\) :

\[E = E_c + \frac{\hbar^2}{2}\left[\frac{(k_x-k_{0x})^2}{m_\ell^*} + \frac{k_y^2 + k_z^2}{m_t^*}\right]\] \[\mathcal{N}_c(E) = \frac{V}{2\pi^2}\left(\frac{2m_{eq}^*}{\hbar^2}\right)^{3/2}(E-E_c)^{1/2}\] \[m_{eq}^* = (m_\ell^*m_t^{*2})^{1/3}\]

C. États dans la Bande de Valence

Pour la bande de valence isotrope :

\[E = E_v + \frac{\hbar^2k^2}{2m_v^*}\] \[m_p^* = -m_v^* > 0\] \[E = E_v – \frac{\hbar^2k^2}{2m_p^*}\] \[k = \sqrt{\frac{2m_p^*(E_v-E)}{\hbar^2}}\] \[\mathcal{N}_v(E) = \frac{V}{2\pi^2}\left(\frac{2m_p^*}{\hbar^2}\right)^{3/2}(E_v-E)^{1/2}\]

D. Cas Particulier du Métal

Pour les électrons libres dans un métal :

\[E = eV_0 + \frac{\hbar^2k^2}{2m_0}\] \[\mathcal{N}_c(E) = \frac{V}{2\pi^2}\left(\frac{2m_0}{\hbar^2}\right)^{3/2}(E-eV_0)^{1/2}\] \[\text{où } m_0 = 9,1093897 \times 10^{-31} \text{ kg}\]

E. Relations Importantes

\[\frac{d\mathcal{N}_c(E)}{dE} = \frac{V}{4\pi^2}\left(\frac{2m_c^*}{\hbar^2}\right)^{3/2}\frac{1}{\sqrt{E-E_c}}\] \[\frac{d\mathcal{N}_v(E)}{dE} = -\frac{V}{4\pi^2}\left(\frac{2m_p^*}{\hbar^2}\right)^{3/2}\frac{1}{\sqrt{E_v-E}}\] \[\int_{E_c}^{\infty}\mathcal{N}_c(E)dE = \int_{-\infty}^{E_v}\mathcal{N}_v(E)dE = N\]