Exercice 1

Soit la fonction définie sur \([2,+\infty[\) par \(f(x)=\frac{2x-1}{x-2}\).

1. Calculer \(f(7)\).
2. Montrer que \(f\) est dérivable sur \([2,+\infty[\) et que pour tout \(x > 2\), \(f'(x)=\frac{-5}{(x-2)^2}\).
3. Dresser le tableau de variation de \(f\).
4. • Montrer que \(f\) réalise une bijection de \([2,+\infty[\) sur un intervalle \(J\) que l’on précisera.
   • Montrer que pour tout \(x \in J\), \(f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x-1}\).
   • Calculer \(f^{-1}(4)\).
5. Soit la fonction \(h(x)=f(\sqrt{x})\) pour tout \(x > 4\).
   • Calculer \(h'(x)\).
   • En déduire le tableau de variation de la fonction \(h\).

Exercice 2

Soit les matrices \(A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix} 5 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 4 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(A\) est inversible.
2. • Calculer la matrice \(M=B-2A\) et la matrice \(A \times M\).
   • Déduire la matrice \(A^{-1}\).
3. Une usine fabrique 3 types de vélos : \(V_1\), \(V_2\), et \(V_3\). Le tableau suivant résume le nombre de vélos fabriqués en 3 jours :

   	\(V_1\)	\(V_2\)	\(V_3\)	Recettes
   1er jour	2	1	2	850
   2ème jour	2	2	1	865
   3ème jour	1	1	1	510

   • Transformer les informations suivantes dans un système de 3 équations à 3 inconnues.
   • Quel est le prix de chaque vélo ?

Solution Exercice 1

Soit \(f(x)=\frac{2x-1}{x-2}\) définie sur \([2,+\infty[\).

1. Calculons \(f(7)\):
   \[ f(7) = \frac{2(7)-1}{7-2} = \frac{13}{5} = 2.6 \]
2. Montrons que \(f\) est dérivable sur \([2,+\infty[\):
   • La fonction est un quotient de deux polynômes, et le dénominateur ne s’annule pas pour \(x > 2\).
   • Donc, \(f\) est dérivable sur \([2,+\infty[\).
   Pour tout \(x > 2\):
   \[ f'(x) = \frac{-5}{(x-2)^2} \]
3. Étude des variations de \(f\):
   • Comme \(f'(x) < 0\) pour \(x > 2\), \(f\) est strictement décroissante.

   \(x\)	2	+∞
   \(f'(x)\)	\(-\)
   \(f(x)\)	+∞	2

4. • \(f\) réalise une bijection de \([2,+\infty[\) sur \(]2,+\infty[\).
   • Inverse : Pour tout \(x \in ]2,+\infty[\), \(f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x-1}\).
   • Calcul : \(f^{-1}(4) = \frac{9}{3} = 3\).
5. Soit \(h(x)=f(\sqrt{x})\) pour \(x > 4\):
   • Dérivée :
     \[ h'(x) = -\frac{5}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)^2} \]
   • Tableau de variations :

     \(x\)	4	+∞
     \(h'(x)\)	\(-\)
     \(h(x)\)	+∞	2

Solution Exercice 2

1. Montrons que \(A\) est inversible :
   \[ \text{det}(A) = 4 \neq 0 \]
2. Calculs :
   • \(M = B – 2A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}\).
   • \(A \times M = 4I_3\) donc \(A^{-1}=\frac{1}{4}M\).
3. Résolution système :
   • Prix des vélos : \(V_1=200, V_2=160, V_3=150\).