Fiches Méthodes Mathématiques
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Donner l’ensemble de définition \(D_f\) d’une fonction \(f\)
Étape 1 : Écrire les conditions d’existence de \(f(x)\)
Étape 2 : Résoudre chacune des conditions
Étape 3 : Conclure
Ce qu’il faut savoir :
- \(f(x) = P(x) \Leftrightarrow D_f = \mathbb{R}\)
- \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) n’existe que si \(Q(x) \neq 0\)
- \(f(x) = \sqrt{P(x)}\) n’existe que si \(P(x) \geq 0\)
- \(f(x) = \ln(u(x))\) n’existe que si \(u(x) > 0\)
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f(x) = \ln(x^2-4)\)
Étape 1 : Pour que \(f(x) = \ln(x^2-4)\) soit définie, il faut que \(x^2-4 > 0\)
Étape 2 : Résolvons cette inéquation :
\(x^2-4 > 0\)
\(x^2 > 4\)
\(x < -2\) ou \(x > 2\)
Étape 3 : Donc, l’ensemble de définition de \(f\) est : \(D_f = ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[\)
Étudier la continuité d’une fonction \(f\) en un point \(x_0\)
Étape 1 : Calculer \(\lim_{x \to x_0^-} f(x)\) et \(\lim_{x \to x_0^+} f(x)\)
Étape 2 : Calculer \(f(x_0)\)
Étape 3 : Si \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)\) alors \(f\) est continue en \(x_0\)
Étudier la continuité de la fonction \(f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}\) en \(x_0 = 2\)
Étape 1 : Observons que \(f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2\) \( \forall x \neq 2\)
Donc \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x+2) = 4\)
Et \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x+2) = 4\)
Étape 2 : \(f\) n’est pas définie en \(x_0 = 2\) (division par zéro)
Étape 3 : \(f\) n’est pas continue en \(x_0 = 2\), car \(f\) n’est pas définie en ce point.
Cependant, si on prolonge \(f\) en posant \(f(2) = 4\), la nouvelle fonction obtenue sera continue en \(x_0 = 2\).
Étudier la dérivabilité d’une fonction \(f\) en un point \(x_0\)
Étape 1 : Calculer \(\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) et \(\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
Étape 2 : Si ces deux limites sont égales à un nombre \(\ell\), alors \(f\) est dérivable en \(x_0\) et \(f'(x_0) = \ell\)
Étape 3 : Si ces deux limites sont différentes ou égales à \(\pm\infty\), alors \(f\) n’est pas dérivable en \(x_0\)
Étudier la dérivabilité de la fonction \(f(x) = |x-1|\) en \(x_0 = 1\)
Étape 1 : On sait que \(f(1) = |1-1| = 0\)
Pour \(x < 1\) : \(f(x) = -(x-1) = 1-x\)
Pour \(x > 1\) : \(f(x) = x-1\)
\(\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1-x-0}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1-x}{x-1} = -1\)
\(\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-1-0}{x-1} = 1\)
Étape 2 : Les limites à gauche et à droite sont différentes : \(-1 \neq 1\)
Étape 3 : Donc \(f\) n’est pas dérivable en \(x_0 = 1\).
Calculer les limites d’une fonction aux bornes de son ensemble de définition
Étape 1 : Calculer \(\lim_{x \to x_0^-} f(x)\) et/ou \(\lim_{x \to x_0^+} f(x)\) (si \(x_0\) est une borne de \(D_f\))
Étape 2 : Calculer \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\) et/ou \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\) (si nécessaire)
Étape 3 : Conclure sur l’existence d’asymptotes
Ce qu’il faut savoir :
– Si \(\lim_{x \to x_0^\pm} f(x) = \pm\infty\), alors la droite d’équation \(x = x_0\) est une asymptote verticale
– Si \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell\), alors la droite d’équation \(y = \ell\) est une asymptote horizontale
Calculer les limites de \(f(x) = \frac{2x-3}{x+1}\) et déterminer les asymptotes
Étape 1 : L’ensemble de définition est \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\)
Calculons \(\lim_{x \to -1^-} f(x)\) et \(\lim_{x \to -1^+} f(x)\) :
Au voisinage de \(x = -1\), on a \(x+1 \to 0\)
Pour \(x \to -1^-\), on a \(x+1 < 0\) et \(2x-3 \to -5\), donc \(\lim_{x \to -1^-} f(x) = \frac{-5}{0^-} = +\infty\)
Pour \(x \to -1^+\), on a \(x+1 > 0\) et \(2x-3 \to -5\), donc \(\lim_{x \to -1^+} f(x) = \frac{-5}{0^+} = -\infty\)
Étape 2 : Calculons les limites à l’infini :
\(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x-3}{x+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2-\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}} = 2\)
Étape 3 : Conclusion :
– La droite d’équation \(x = -1\) est une asymptote verticale
– La droite d’équation \(y = 2\) est une asymptote horizontale
Montrer qu’une droite d’équation \(y = ax + b\) est asymptote à la courbe \((C_f)\)
Étape 1 : Calculer \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) – (ax + b)]\)
Étape 2 : Si cette limite est égale à 0, alors la droite d’équation \(y = ax + b\) est une asymptote oblique
Ce qu’il faut savoir :
Si \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) – (ax + b)] = 0\) alors la droite d’équation \(y = ax + b\) est une asymptote oblique à la courbe \((C_f)\)
Montrer que la droite d’équation \(y = 2x + 3\) est une asymptote à la courbe de la fonction \(f(x) = 2x + 3 + \frac{5}{x}\) en \(+\infty\)
Étape 1 : Calculons \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) – (2x + 3)]\)
\(\lim_{x \to +\infty} [f(x) – (2x + 3)] = \lim_{x \to +\infty} [(2x + 3 + \frac{5}{x}) – (2x + 3)]\)
\(\lim_{x \to +\infty} [f(x) – (2x + 3)] = \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x} = 0\)
Étape 2 : Comme cette limite est égale à 0, la droite d’équation \(y = 2x + 3\) est bien une asymptote oblique à la courbe \((C_f)\) en \(+\infty\).
Étudier la position relative d’une courbe \((C_f)\) et d’une droite \((\Delta)\) d’équation \(y = ax + b\)
Étape 1 : Étudier le signe de \(f(x) – (ax + b)\)
Étape 2 : Conclure selon le signe
Ce qu’il faut savoir :
– Si \(f(x) – (ax + b) > 0\) alors \((C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\)
– Si \(f(x) – (ax + b) < 0\) alors \((C_f)\) est en-dessous de \((\Delta)\)
Étudier la position relative de la courbe \((C_f)\) de la fonction \(f(x) = x^2\) et de la droite \((\Delta)\) d’équation \(y = 2x – 1\)
Étape 1 : Étudions le signe de \(f(x) – (ax + b)\)
\(f(x) – (ax + b) = x^2 – (2x – 1) = x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2\)
Étape 2 : Comme \((x – 1)^2 \geq 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) et \((x – 1)^2 = 0\) si et seulement si \(x = 1\), on a :
– \(f(x) – (2x – 1) > 0\) \( \forall x \neq 1\)
– \(f(x) – (2x – 1) = 0\) pour \(x = 1\)
Conclusion : La courbe \((C_f)\) est strictement au-dessus de la droite \((\Delta)\) \( \forall x \neq 1\), et les deux courbes se coupent au point de coordonnées \((1, 1)\).
Montrer que deux courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) sont asymptotes
Étape 1 : Calculer \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – g(x)]\)
Étape 2 : Conclure selon la valeur de la limite
Ce qu’il faut savoir :
Si \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – g(x)] = 0\) alors \((C_f)\) et \((C_g)\) sont asymptotes en \(\pm\infty\)
Montrer que les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) sont asymptotes en \(+\infty\) pour \(f(x) = \frac{x^2+1}{x}\) et \(g(x) = x\)
Étape 1 : Calculons \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) – g(x)]\) :
\(\lim_{x \to +\infty} [f(x) – g(x)] = \lim_{x \to +\infty} [\frac{x^2+1}{x} – x]\)
\(\lim_{x \to +\infty} [f(x) – g(x)] = \lim_{x \to +\infty} [\frac{x^2+1-x^2}{x}] = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\)
Étape 2 : Comme cette limite est égale à 0, les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) sont asymptotes en \(+\infty\).
Étudier les positions relatives des courbes \((C_f)\) et \((C_g)\)
Étape 1 : Étudier le signe de \(f(x) – g(x)\)
Étape 2 : Conclure selon le signe
Ce qu’il faut savoir :
– Si \(f(x) – g(x) > 0\) alors \((C_f)\) est au-dessus de \((C_g)\)
– Si \(f(x) – g(x) < 0\) alors \((C_f)\) est en-dessous de \((C_g)\)
Étudier les positions relatives des courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) pour \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x\)
Étape 1 : Étudions le signe de \(f(x) – g(x)\)
\(f(x) – g(x) = x^2 – 2x = x(x – 2)\)
Ce produit change de signe en \(x = 0\) et \(x = 2\)
Étape 2 : Tableau de signes de \(f(x) – g(x)\) :
– Pour \(x < 0\) : \(f(x) - g(x) > 0\) donc \((C_f)\) est au-dessus de \((C_g)\)
– Pour \(0 < x < 2\) : \(f(x) - g(x) < 0\) donc \((C_f)\) est en-dessous de \((C_g)\)
– Pour \(x > 2\) : \(f(x) – g(x) > 0\) donc \((C_f)\) est au-dessus de \((C_g)\)
Les courbes se coupent aux points de coordonnées \((0,0)\) et \((2,4)\).
Étudier les branches infinies d’une fonction \(f\)
Étape 1 : Calculer \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}\) et au cas où \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a\) (a \in \mathbb{R}^*)\)
Étape 2 : Calculer \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – ax]\)
Étape 3 : Conclure
Ce qu’il faut savoir :
– Si \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty\) alors \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction asymptotique l’axe des ordonnées
– Si \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\) alors \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction asymptotique l’axe des abscisses
– Si \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a\) (a \in \mathbb{R}^*) et \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – ax] = \pm\infty\) alors \((C_f)\) admet une branche parabolique de direction asymptotique la droite d’équation \(y = ax\)
– Si \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a\) (a \in \mathbb{R}^*) et \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – ax] = b\) (b \in \mathbb{R}) alors \((C_f)\) admet une asymptote oblique d’équation \(y = ax + b\)
Étudier les branches infinies de la fonction \(f(x) = x + \frac{x}{x^2+1}\)
Étape 1 : Calculons \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}\) :
\(\frac{f(x)}{x} = \frac{x + \frac{x}{x^2+1}}{x} = 1 + \frac{1}{x^2+1}\)
\(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{1}{x^2+1}) = 1\)
Donc \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 \in \mathbb{R}^*\)
Étape 2 : Calculons \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – x]\) :
\(f(x) – x = x + \frac{x}{x^2+1} – x = \frac{x}{x^2+1}\)
\(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – x] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{\frac{x^2+1}{x}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x + \frac{1}{x}} = 0\)
Étape 3 : Donc \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – x] = 0\)
Conclusion : La courbe \((C_f)\) admet une asymptote oblique d’équation \(y = x\) en \(\pm\infty\).
Montrer que le point \(\Omega(a ; b)\) est un centre de symétrie de la courbe \((C_f)\)
Étape 1 : Calculer \(f(2a – x) + f(x)\) (sous réserve que \(\forall x \in D_f, 2a – x \in D_f\))
Étape 2 : Conclure selon la valeur obtenue
Ce qu’il faut savoir :
Si \(f(2a – x) + f(x) = 2b\) alors \(\Omega(a ; b)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\)
Montrer que le point \(\Omega(0; 0)\) est un centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction \(f(x) = x^3\)
Étape 1 : Ici, \(a = 0\) et \(b = 0\)
Calculons \(f(2a – x) + f(x) = f(-x) + f(x)\) :
\(f(-x) + f(x) = (-x)^3 + x^3 = -x^3 + x^3 = 0 = 2b\)
Étape 2 : Comme \(f(2a – x) + f(x) = 2b\), le point \(\Omega(0; 0)\) est bien un centre de symétrie de la courbe \((C_f)\).
Montrer que la droite d’équation \(x = a\) est un axe de symétrie de la courbe \((C_f)\)
Étape 1 : Calculer \(f(2a – x)\) (sous réserve que \(\forall x \in D_f, 2a – x \in D_f\))
Étape 2 : Conclure selon la valeur obtenue
Ce qu’il faut savoir :
Si \(f(2a – x) = f(x)\) alors la droite d’équation \(x = a\) est un axe de symétrie de \((C_f)\)
Montrer que la droite d’équation \(x = 0\) est un axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction \(f(x) = x^2\)
Étape 1 : Ici, \(a = 0\)
Calculons \(f(2a – x) = f(-x)\) :
\(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\)
Étape 2 : Comme \(f(2a – x) = f(x)\), la droite d’équation \(x = 0\) (l’axe des ordonnées) est bien un axe de symétrie de la courbe \((C_f)\).
Étudier le sens de variation d’une fonction \(f\)
Étape 1 : Calculer \(f'(x)\)
Étape 2 : Étudier le signe de \(f'(x)\)
Étape 3 : Conclure
Ce qu’il faut savoir :
– Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle \(I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\)
– Si \(f'(x) < 0\) sur un intervalle \(I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\)
– Si \(f'(x) = 0\) sur un intervalle \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\)
Étudier le sens de variation de la fonction \(f(x) = x^3 – 3x + 1\) sur \(\mathbb{R}\)
Étape 1 : Calculons la dérivée : \(f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1) = 3(x-1)(x+1)\)
Étape 2 : Étudions le signe de \(f'(x)\) :
Le produit \(3(x-1)(x+1)\) change de signe en \(x = -1\) et \(x = 1\)
– Pour \(x < -1\) : \(f'(x) < 0\) donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty, -1[\)
– Pour \(-1 < x < 1\) : \(f'(x) < 0\) donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]-1, 1[\)
– Pour \(x > 1\) : \(f'(x) > 0\) donc \(f\) est strictement croissante sur \(]1, +\infty[\)
Étape 3 : Conclusion : \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty, 1[\) et strictement croissante sur \(]1, +\infty[\).
Montrer qu’une fonction \(f\) définit une bijection d’un intervalle \(I\) sur un intervalle \(J\)
Étape 1 : Vérifier que \(f\) est continue sur \(I\) (car dérivable)
Étape 2 : Montrer que \(f\) est strictement monotone sur \(I\)
Étape 3 : Déterminer l’intervalle \(J = f(I)\)
Étape 4 : Conclure que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J\)
Ce qu’il faut savoir :
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J = f(I)\)
Montrer que la fonction \(f(x) = x^3\) définit une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\)
Étape 1 : La fonction \(f(x) = x^3\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est un polynôme. Donc \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Étape 2 : Calculons \(f'(x) = 3x^2 \geq 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\)
\(f'(x) = 0\) si et seulement si \(x = 0\), donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)
Étape 3 : Déterminons l’intervalle \(J = f(\mathbb{R})\)
\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)
Comme \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’image de \(\mathbb{R}\) par \(f\) est \(\mathbb{R}\).
Étape 4 : La fonction \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et \(f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\). Donc \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\).
Montrer qu’une fonction \(f\) admet une bijection réciproque et déterminer son ensemble de définition
Étape 1 : Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J = f(I)\)
Étape 2 : Conclure que \(f\) admet une bijection réciproque \(f^{-1}\) de \(J = f(I)\) sur \(I\)
Étape 3 : (Facultatif) Déterminer l’expression de \(f^{-1}\)
Ce qu’il faut savoir :
Si \(f\) est une bijection de \(I\) sur \(J\), alors \(f\) admet une bijection réciproque \(f^{-1}\) de \(J\) sur \(I\)
Montrer que la fonction \(f(x) = e^x\) admet une bijection réciproque et déterminer son ensemble de définition
Étape 1 : Montrons que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur un ensemble à déterminer.
La fonction \(f(x) = e^x\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(f'(x) = e^x > 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\)
Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)
\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’image de \(\mathbb{R}\) par \(f\) est \(]0, +\infty[\)
Donc \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]0, +\infty[\)
Étape 2 : La fonction \(f\) admet une bijection réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(]0, +\infty[\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Étape 3 : Pour déterminer \(f^{-1}\), on résout l’équation \(y = e^x\)
En appliquant le logarithme népérien : \(\ln(y) = x\)
Donc \(f^{-1}(y) = \ln(y)\)
Conclusion : La fonction \(f^{-1}\) est la fonction logarithme népérien, définie sur \(]0, +\infty[\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Donner les variations de la réciproque \(f^{-1}\) de \(f\)
Étape 1 : Dire que \(f^{-1}\) a sur \(J\) le même sens de variation que \(f\) sur \(I\)
Étape 2 : Dresser le tableau de variation de \(f^{-1}\) à partir de celui de \(f\)
Ce qu’il faut savoir :
– Si \(f\) est strictement croissante sur \(I\), alors \(f^{-1}\) est strictement croissante sur \(J=f(I)\)
– Si \(f\) est strictement décroissante sur \(I\), alors \(f^{-1}\) est strictement décroissante sur \(J=f(I)\)
Soit \(f : [0,+\infty[ \rightarrow [0,+\infty[\) définie par \(f(x) = x^2\). Déterminer les variations de \(f^{-1}\).
Étape 1 : Commençons par étudier les variations de \(f\).
\(f'(x) = 2x\) qui est strictement positive sur \(]0,+\infty[\) et nulle en \(x=0\).
Donc \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\).
Étape 2 : Déterminons l’expression de \(f^{-1}\).
Si \(y = f(x) = x^2\), alors \(x = \sqrt{y}\) pour \(x \geq 0\) et \(y \geq 0\).
Donc \(f^{-1}(y) = \sqrt{y}\) pour tout \(y \in [0,+\infty[\).
Étape 3 : Puisque \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\), sa réciproque \(f^{-1}\) est également strictement croissante sur \([0,+\infty[\).
On peut vérifier directement que \((f^{-1})'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} > 0\) pour tout \(y > 0\), ce qui confirme que \(f^{-1}\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).
Conclusion : \(f^{-1}\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\).
Expliciter \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\) élément de \(J\) (ou donner l’expression de \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\) élément de \(J\))
Étape 1 : Résoudre l’équation \(f(x) = y\)
Étape 2 : On trouve \(x = f^{-1}(y)\)
Étape 3 : Conclure en remplaçant le \(y\) dans \(f^{-1}(y)\) par \(x\)
Exemple : \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ; x \mapsto f(x) = 2x – 1\)
Étape 1 : Résolvons \(f(x) = y\)
\(f(x) = y \Leftrightarrow 2x – 1 = y \Leftrightarrow x = \frac{y+1}{2} = f^{-1}(y)\)
Étape 2 : On remplace \(y\) par \(x\) pour obtenir l’expression de \(f^{-1}(x)\)
Conclusion : \(f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2}\)
Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur un intervalle \(I\) (ou montrer qu’il existe un unique réel \(\alpha \in I\) tel que \(f(\alpha) = 0\)) et que \(\alpha \in ]a ; b[\)
(sous réserve que les variations de \(f\) sont déjà connues)
Étape 1 : Écrire que \(f\) est continue sur \(I\) car elle est dérivable sur \(I\)
Étape 2 : Écrire que \(f\) est strictement croissante sur \(I\) (ou strictement décroissante sur \(I\))
Étape 3 : En déduire que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J = f(I)\)
Étape 4 : Vérifier que \(0 \in J = f(I)\)
Étape 5 : Conclure que l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in I\)
Étape 1 : Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\) puis \(f(a) \times f(b)\)
Étape 2 : Conclure
Ce qu’il faut savoir :
\(\to\) Si \(f(a) \times f(b) < 0\) alors \(\alpha \in ]a ; b[\)
Montrer que l’équation \(x^3 + x – 2 = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans l’intervalle \([0, 2]\) et que \(\alpha \in ]0, 1[\).
Soit \(f(x) = x^3 + x – 2\).
Étape 1 : La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) car c’est une fonction polynôme.
Étape 2 : Calculons \(f'(x) = 3x^2 + 1\).
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f'(x) > 0\) car \(3x^2 \geq 0\) et \(1 > 0\).
Donc \(f\) est strictement croissante sur \([0, 2]\).
Étape 3 : Comme \(f\) est continue et strictement croissante sur \([0, 2]\), \(f\) réalise une bijection de \([0, 2]\) sur \([f(0), f(2)]\).
Étape 4 : Calculons \(f(0) = 0^3 + 0 – 2 = -2\) et \(f(2) = 2^3 + 2 – 2 = 8 + 2 – 2 = 8\).
Donc \(f([0, 2]) = [-2, 8]\).
On a \(0 \in [-2, 8]\), donc l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0, 2]\).
Étape 5 : Pour montrer que \(\alpha \in ]0, 1[\), calculons \(f(0) = -2\) et \(f(1) = 1^3 + 1 – 2 = 1 + 1 – 2 = 0\).
Donc \(f(0) \times f(1) = -2 \times 0 = 0\).
Mais \(f(0) < 0\) et \(f(1) = 0\), donc \(\alpha = 1\).
Conclusion : L’équation \(x^3 + x – 2 = 0\) admet une unique solution \(\alpha = 1\) dans \([0, 2]\).
Montrer que l’équation \(f(x) = k\) admet une unique solution \(\alpha\) sur un intervalle \(I\) (ou montrer qu’il existe un unique réel \(\alpha \in I\) tel que \(f(\alpha) = k\)) et que \(\alpha \in ]a ; b[\)
(sous réserve que les variations de \(f\) sont déjà connues)
Étape 1 : Écrire que \(f\) est continue sur \(I\) car elle est dérivable sur \(I\)
Étape 2 : Écrire que \(f\) est strictement croissante sur \(I\) (ou strictement décroissante sur \(I\))
Étape 3 : En déduire que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J = f(I)\)
Étape 4 : Vérifier que \(k \in J = f(I)\)
Étape 5 : Conclure que l’équation \(f(x) = k\) admet une unique solution \(\alpha \in I\)
Étape 1 : Calculer \(f(]a ; b[)\) (intervalle ouvert de bornes \(f(a)\) et \(f(b)\))
Étape 2 : Conclure
Ce qu’il faut savoir :
\(\to\) Si \(k \in f(]a ; b[)\) alors \(\alpha \in ]a ; b[\)
Montrer que l’équation \(e^x = 3\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\) et que \(\alpha \in ]1 ; 2[\).
Soit \(f(x) = e^x\).
Étape 1 : La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) car elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Étape 2 : Calculons \(f'(x) = e^x\).
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f'(x) > 0\) car \(e^x > 0\).
Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Étape 3 : Comme \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(f(\mathbb{R})\).
Étape 4 : \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
Donc \(f(\mathbb{R}) = ]0, +\infty[\).
Comme \(3 \in ]0, +\infty[\), l’équation \(f(x) = 3\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\).
Étape 5 : Pour montrer que \(\alpha \in ]1, 2[\), calculons \(f(1) = e^1 = e \approx 2.718\) et \(f(2) = e^2 \approx 7.389\).
Donc \(f(]1, 2[) = ]e, e^2[ = ]2.718, 7.389[\).
Comme \(3 \in ]2.718, 7.389[\), on en déduit que \(\alpha \in ]1, 2[\).
Conclusion : L’équation \(e^x = 3\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\) et \(\alpha \in ]1, 2[\).
Déterminer l’équation de la tangente (T) à (Cf) au point d’abscisse x0
Étape 1 : Écrire l’équation sous la forme (T): \(y = f'(x_0)(x – x_0) + f(x_0)\)
Étape 2 : Calculer \(f'(x_0)\) et \(f(x_0)\)
Étape 3 : Conclure
Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction \(f(x) = x^2 – 3x + 2\) au point d’abscisse \(x_0 = 1\).
Étape 1 : L’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(x_0\) est donnée par :
\(y = f'(x_0)(x – x_0) + f(x_0)\)
Étape 2 : Calculons \(f'(x) = 2x – 3\)
Donc \(f'(1) = 2 \times 1 – 3 = -1\)
Et \(f(1) = 1^2 – 3 \times 1 + 2 = 1 – 3 + 2 = 0\)
Étape 3 : L’équation de la tangente est :
\(y = -1 \times (x – 1) + 0\)
\(y = -x + 1\)
Conclusion : L’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(x_0 = 1\) est \(y = -x + 1\).
Déterminer le point A d’abscisse a de (Cf) où la tangente (T) à (Cf) est parallèle à une droite d’équation \(y = mx + p\)
Étape 1 : Résoudre \(f'(a) = m\) (puisque les deux coefficients directeurs sont égaux)
Étape 2 : Calculer \(f(a)\)
Étape 3 : Conclure que \(A(a ; f(a))\)
Déterminer le point de la courbe représentative de la fonction \(f(x) = x^3 – 3x + 1\) où la tangente est parallèle à la droite d’équation \(y = 3x + 2\).
Étape 1 : La tangente est parallèle à la droite d’équation \(y = 3x + 2\) si et seulement si elle a le même coefficient directeur, c’est-à-dire \(m = 3\).
Calculons \(f'(x) = 3x^2 – 3\)
Résolvons \(f'(a) = 3\) :
\(3a^2 – 3 = 3\)
\(3a^2 = 6\)
\(a^2 = 2\)
\(a = \pm\sqrt{2}\)
Étape 2 : Calculons \(f(\sqrt{2})\) et \(f(-\sqrt{2})\) :
\(f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 – 3\sqrt{2} + 1 = 2\sqrt{2} – 3\sqrt{2} + 1 = -\sqrt{2} + 1\)
\(f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 – 3(-\sqrt{2}) + 1 = -2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 1 = \sqrt{2} + 1\)
Étape 3 : Les points cherchés sont :
\(A_1(\sqrt{2} ; -\sqrt{2} + 1)\) et \(A_2(-\sqrt{2} ; \sqrt{2} + 1)\)
Conclusion : Il y a deux points où la tangente est parallèle à la droite d’équation \(y = 3x + 2\).
Déterminer le point A d’abscisse a de (Cf) où la tangente (T) à (Cf) est perpendiculaire à une droite d’équation \(y = mx + p\)
Étape 1 : Résoudre \(f'(a) = -\frac{1}{m}\) (puisque le produit des coefficients directeurs est -1)
Étape 2 : Calculer \(f(a)\)
Étape 3 : Conclure \(A(a ; f(a))\)
Déterminer le point de la courbe représentative de la fonction \(f(x) = x^2 – 4x + 5\) où la tangente est perpendiculaire à la droite d’équation \(y = 2x – 3\).
Étape 1 : La tangente est perpendiculaire à la droite d’équation \(y = 2x – 3\) si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.
Le coefficient directeur de la droite est \(m = 2\).
Donc le coefficient directeur de la tangente doit être \(-\frac{1}{m} = -\frac{1}{2}\).
Calculons \(f'(x) = 2x – 4\)
Résolvons \(f'(a) = -\frac{1}{2}\) :
\(2a – 4 = -\frac{1}{2}\)
\(2a = -\frac{1}{2} + 4 = \frac{7}{2}\)
\(a = \frac{7}{4}\)
Étape 2 : Calculons \(f(a)\) :
\(f(\frac{7}{4}) = (\frac{7}{4})^2 – 4(\frac{7}{4}) + 5 = \frac{49}{16} – \frac{28}{4} + 5 = \frac{49}{16} – 7 + 5 = \frac{49}{16} – \frac{112}{16} + \frac{80}{16} = \frac{49 – 112 + 80}{16} = \frac{17}{16}\)
Étape 3 : Le point cherché est \(A(\frac{7}{4} ; \frac{17}{16})\)
Conclusion : Le point de la courbe où la tangente est perpendiculaire à la droite d’équation \(y = 2x – 3\) est le point \(A(\frac{7}{4} ; \frac{17}{16})\).
Démontrer qu’au point d’abscisse a la tangente (T) à (Cf) et la tangente (T’) à (Cg) sont perpendiculaires
Étape 1 : Calculer \(f'(a) \times g'(a)\)
Étape 2 : Conclure
Ce qu’il faut savoir :
Si \(f'(a) \times g'(a) = -1\), alors (T) et (T’) sont perpendiculaires
Soient les fonctions \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = \frac{1}{x}\) pour \(x \neq 0\). Montrer qu’au point d’abscisse \(a = 1\), les tangentes aux courbes représentatives de \(f\) et \(g\) sont perpendiculaires.
Étape 1 : Calculons les dérivées des fonctions \(f\) et \(g\) :
\(f'(x) = 2x\)
\(g'(x) = -\frac{1}{x^2}\)
Évaluons ces dérivées en \(a = 1\) :
\(f'(1) = 2 \times 1 = 2\)
\(g'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1\)
Calculons \(f'(1) \times g'(1)\) :
\(f'(1) \times g'(1) = 2 \times (-1) = -2\)
Étape 2 : Pour que les tangentes soient perpendiculaires, il faut que le produit des coefficients directeurs soit égal à -1.
Ici, \(f'(1) \times g'(1) = -2 \neq -1\), donc les tangentes ne sont pas perpendiculaires au point d’abscisse \(a = 1\).
Conclusion : Au point d’abscisse \(a = 1\), les tangentes aux courbes représentatives de \(f\) et \(g\) ne sont pas perpendiculaires.
Note: En fait, ces tangentes seraient perpendiculaires si \(f'(1) \times g'(1) = -1\), ce qui serait le cas si \(g(x) = -\frac{1}{2x}\) par exemple.
Déterminer le ou les points d’intersection de (Cf) et (Cg)
Déterminer le ou les points où (Cf) et (Cg) se coupent (ou se rencontrent)
Étape 1 : Résoudre \(f(x) = g(x)\)
Étape 2 : Calculer \(f(x_1) ; f(x_2) ; \cdots\) (si \(x_1 ; x_2 ; \cdots\) sont les solutions trouvées)
Étape 3 : Conclure \(M_1(x_1 ; f(x_1)) ; M_2(x_2 ; f(x_2)) ; \cdots\)
Déterminer les points d’intersection des courbes représentatives des fonctions \(f(x) = x^2 – 2x + 3\) et \(g(x) = 2x – 1\).
Étape 1 : Résolvons l’équation \(f(x) = g(x)\) :
\(x^2 – 2x + 3 = 2x – 1\)
\(x^2 – 2x – 2x + 3 + 1 = 0\)
\(x^2 – 4x + 4 = 0\)
\((x – 2)^2 = 0\)
\(x = 2\)
Étape 2 : Calculons \(f(2)\) :
\(f(2) = 2^2 – 2 \times 2 + 3 = 4 – 4 + 3 = 3\)
On peut vérifier que \(g(2) = 2 \times 2 – 1 = 4 – 1 = 3\)
Étape 3 : Le point d’intersection est \(M(2 ; 3)\)
Conclusion : Les courbes représentatives des fonctions \(f\) et \(g\) se coupent en un unique point de coordonnées \(M(2 ; 3)\).
Déterminer le ou les points d’intersection de (Cf) et de la droite (D): \(y = mx + p\)
Déterminer le ou les points où (Cf) et (D) se coupent (ou se rencontrent)
Étape 1 : Résoudre \(f(x) = mx + p\)
Étape 2 : Calculer \(f(x_1) ; f(x_2) ; \cdots\) (si \(x_1 ; x_2 ; \cdots\) sont les solutions trouvées)
Étape 3 : Conclure
\(M_1(x_1 ; f(x_1)) ; M_2(x_2 ; f(x_2)) ; \cdots\)
Déterminer les points d’intersection de la courbe représentative de la fonction \(f(x) = x^2 – 1\) et de la droite d’équation \(y = x + 3\).
Étape 1 : Résolvons l’équation \(f(x) = mx + p\) :
\(x^2 – 1 = x + 3\)
\(x^2 – x – 4 = 0\)
Le discriminant est \(\Delta = 1 + 16 = 17\).
\(x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \approx 2.56\)
\(x_2 = \frac{1 – \sqrt{17}}{2} \approx -1.56\)
Étape 2 : Calculons \(f(x_1)\) et \(f(x_2)\) :
\(f(x_1) = x_1^2 – 1 = (\frac{1 + \sqrt{17}}{2})^2 – 1 = \frac{(1 + \sqrt{17})^2}{4} – 1 = \frac{1 + 2\sqrt{17} + 17}{4} – 1 = \frac{18 + 2\sqrt{17}}{4} – 1 = \frac{18 + 2\sqrt{17} – 4}{4} = \frac{14 + 2\sqrt{17}}{4} = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}\)
On peut vérifier que \(f(x_1) = x_1 + 3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} + 3 = \frac{1 + \sqrt{17} + 6}{2} = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}\).
De même, \(f(x_2) = x_2^2 – 1 = (\frac{1 – \sqrt{17}}{2})^2 – 1 = \frac{(1 – \sqrt{17})^2}{4} – 1 = \frac{1 – 2\sqrt{17} + 17}{4} – 1 = \frac{18 – 2\sqrt{17}}{4} – 1 = \frac{14 – 2\sqrt{17}}{4} = \frac{7 – \sqrt{17}}{2}\)
On peut vérifier que \(f(x_2) = x_2 + 3 = \frac{1 – \sqrt{17}}{2} + 3 = \frac{1 – \sqrt{17} + 6}{2} = \frac{7 – \sqrt{17}}{2}\).
Étape 3 : Les points d’intersection sont :
\(M_1(x_1 ; f(x_1)) = M_1(\frac{1 + \sqrt{17}}{2} ; \frac{7 + \sqrt{17}}{2})\)
\(M_2(x_2 ; f(x_2)) = M_2(\frac{1 – \sqrt{17}}{2} ; \frac{7 – \sqrt{17}}{2})\)
Conclusion : La courbe représentative de \(f\) et la droite d’équation \(y = x + 3\) se coupent en deux points \(M_1\) et \(M_2\).
Déterminer les points d’intersections de (Cf) avec les axes du repère
Avec l’axe des abscisses
Étape 1 : Résoudre \(f(x) = 0\) (puisque l’axe des abscisses a pour équation \(y = 0\))
Étape 2 : Conclure
\(M_1(x_1 ; 0) ; M_2(x_2 ; 0) ; \cdots\) (si \(x_1 ; x_2 ; \cdots\) sont les solutions trouvées)
Avec l’axe des ordonnées
Avec l’axe des ordonnées
Étape 1 : Calculer \(f(0)\) (puisque l’axe des ordonnées a pour équation \(x = 0\))
Étape 2 : Conclure
\(M_0(0 ; f(0))\)
Déterminer les points d’intersection de la courbe représentative de la fonction \(f(x) = x^2 – 4x + 3\) avec les axes du repère.
Avec l’axe des abscisses :
Étape 1 : Résolvons \(f(x) = 0\) :
\(x^2 – 4x + 3 = 0\)
\(\Delta = 16 – 12 = 4\)
\(x_1 = \frac{4 – 2}{2} = 1\) et \(x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\)
Étape 2 : Les points d’intersection avec l’axe des abscisses sont :
\(M_1(1 ; 0)\) et \(M_2(3 ; 0)\)
Avec l’axe des ordonnées :
Étape 1 : Calculons \(f(0)\) :
\(f(0) = 0^2 – 4 \times 0 + 3 = 0 – 0 + 3 = 3\)
Étape 2 : Le point d’intersection avec l’axe des ordonnées est :
\(M_0(0 ; 3)\)
Conclusion : La courbe représentative de \(f\) coupe l’axe des abscisses en deux points \(M_1(1 ; 0)\) et \(M_2(3 ; 0)\), et l’axe des ordonnées en un point \(M_0(0 ; 3)\).
Tracer la courbe (Cf)
Étape 1 : Construire le repère en respectant l’unité graphique
Étape 2 : Tracer les droites particulières (asymptotes ; tangentes ; …)
Étape 3 : Placer les points particuliers (extrémums relatifs ; intersection avec les axes ; …)
Étape 4 : Tracer la courbe en conformité avec le tableau de variations
Tracer la courbe représentative de la fonction \(f(x) = x^2 – 4x + 3\).
Étape 1 : Étudions d’abord les variations de la fonction.
\(f'(x) = 2x – 4\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
\(f'(x) < 0\) pour \(x < 2\) et \(f'(x) > 0\) pour \(x > 2\)
Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty, 2[\) et strictement croissante sur \([2, +\infty[\)
\(f(2) = 2^2 – 4 \times 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = -1\)
Étape 2 : Déterminons les points d’intersection avec les axes.
\(f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x – 3) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) ou \(x = 3\)
\(f(0) = 0^2 – 4 \times 0 + 3 = 3\)
Étape 3 : Établissons le tableau de variations.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(+\infty\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(-1\) | \(+\infty\) |
Étape 4 : Traçons la courbe en plaçant les points particuliers :
– Minimum en \((2, -1)\)
– Intersections avec l’axe des abscisses en \((1, 0)\) et \((3, 0)\)
– Intersection avec l’axe des ordonnées en \((0, 3)\)
La courbe est une parabole ouverte vers le haut, avec son sommet au point \((2, -1)\).
Tracer la courbe (Cf−1) à partir de la courbe (Cf)
Étape 1 : Écrire que (Cf−1) et (Cf) sont symétriques par rapport à la droite d’équation \(y = x\)
Étape 2 : Tracer (Cf−1) à partir de (Cf)
On a représenté ci-dessous la courbe \((C_f)\) d’une fonction \(f\) qui est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Tracer sur le même graphique la courbe \((C_{f^{-1}})\) de sa fonction réciproque.
Étape 1 : La courbe \((C_{f^{-1}})\) est symétrique de \((C_f)\) par rapport à la droite d’équation \(y = x\).
Étape 2 : Pour tracer \((C_{f^{-1}})\), il suffit de prendre quelques points caractéristiques de \((C_f)\) et de calculer leurs symétriques par rapport à la droite \(y = x\).
Par exemple, si \((C_f)\) passe par les points \(A(1, 2)\), \(B(2, 3)\) et \(C(3, 5)\), alors \((C_{f^{-1}})\) passera par les points \(A'(2, 1)\), \(B'(3, 2)\) et \(C'(5, 3)\).
Pour obtenir le symétrique d’un point \(M(a, b)\) par rapport à la droite \(y = x\), il suffit d’échanger ses coordonnées pour obtenir le point \(M'(b, a)\).
Conclusion : La courbe \((C_{f^{-1}})\) est obtenue en traçant la symétrique de \((C_f)\) par rapport à la droite \(y = x\).
Soit \(g(x) = -f(x)\); sans étudier la fonction g, tracer (Cg) dans le même repère que (Cf)
Étape 1 : Écrire : (Cg) et (Cf) sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses
Étape 2 : Tracer (Cg) à partir de (Cf)
Soit \(f(x) = x^2 – 2\) et \(g(x) = -f(x) = -x^2 + 2\). Sans étudier la fonction \(g\), tracer \((C_g)\) dans le même repère que \((C_f)\).
Étape 1 : Identifions d’abord quelques points caractéristiques de la courbe \((C_f)\).
La fonction \(f(x) = x^2 – 2\) est représentée par une parabole dont l’axe de symétrie est l’axe des ordonnées.
Calculons quelques valeurs :
\(f(0) = 0^2 – 2 = -2\)
\(f(1) = 1^2 – 2 = -1\)
\(f(2) = 2^2 – 2 = 2\)
La courbe \((C_f)\) passe donc par les points \((0, -2)\), \((1, -1)\), \((2, 2)\) et est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Étape 2 : Pour obtenir la courbe \((C_g)\), nous prenons la symétrique de \((C_f)\) par rapport à l’axe des abscisses.
Les points caractéristiques de \((C_g)\) seront alors :
\(g(0) = -f(0) = -(-2) = 2\)
\(g(1) = -f(1) = -(-1) = 1\)
\(g(2) = -f(2) = -(2) = -2\)
La courbe \((C_g)\) passe donc par les points \((0, 2)\), \((1, 1)\), \((2, -2)\) et est également symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Conclusion : La courbe \((C_g)\) est la symétrique de la courbe \((C_f)\) par rapport à l’axe des abscisses. C’est une parabole orientée vers le bas, tandis que \((C_f)\) est orientée vers le haut.
Soit \(g(x) = |f(x)|\); sans étudier la fonction g, tracer (Cg) dans le même repère que (Cf)
Étape 1 : Écrire :
Si \(f(x) \geq 0\) alors (Cg) = (Cf)
Si \(f(x) \leq 0\) alors (Cg) et (Cf) sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses
Étape 2 : Tracer (Cg) à partir de (Cf)
Soit \(f(x) = x^3 – 4x\) et \(g(x) = |f(x)| = |x^3 – 4x|\). Sans étudier la fonction \(g\), tracer \((C_g)\) dans le même repère que \((C_f)\).
Étape 1 : Étudions d’abord la fonction \(f\) pour déterminer où elle est positive et où elle est négative.
Résolvons \(f(x) = 0\) :
\(x^3 – 4x = 0\)
\(x(x^2 – 4) = 0\)
\(x(x – 2)(x + 2) = 0\)
Les solutions sont \(x = 0\), \(x = 2\) et \(x = -2\).
Étudions le signe de \(f\) :
– Pour \(x \in ]-\infty, -2[\), \(f(x) < 0\)
– Pour \(x \in ]-2, 0[\), \(f(x) > 0\)
– Pour \(x \in ]0, 2[\), \(f(x) < 0\)
– Pour \(x \in ]2, +\infty[\), \(f(x) > 0\)
Étape 2 : Traçons maintenant \((C_g)\) :
– Pour \(x \in ]-2, 0[ \cup ]2, +\infty[\), \(f(x) \geq 0\), donc \((C_g)\) coïncide avec \((C_f)\)
– Pour \(x \in ]-\infty, -2[ \cup ]0, 2[\), \(f(x) \leq 0\), donc \((C_g)\) est symétrique à \((C_f)\) par rapport à l’axe des abscisses
Conclusion : La courbe \((C_g)\) correspond à la courbe \((C_f)\) pour les valeurs de \(x\) où \(f(x) \geq 0\), et à la symétrique de \((C_f)\) par rapport à l’axe des abscisses pour les valeurs de \(x\) où \(f(x) \leq 0\). La courbe \((C_g)\) ne comporte que des ordonnées positives ou nulles, et touche l’axe des abscisses aux points d’abscisses -2, 0 et 2.
Soit \(g(x) = f(-x)\) ; sans étudier la fonction g, tracer (Cg) dans le même repère que (Cf)
Étape 1 : Écrire : (Cg) et (Cf) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées
Étape 2 : Tracer (Cg) à partir de (Cf)
Soit \(f(x) = x^2 + x\) et \(g(x) = f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 – x\). Sans étudier la fonction \(g\), tracer \((C_g)\) dans le même repère que \((C_f)\).
Étape 1 : Identifions quelques points caractéristiques de la courbe \((C_f)\).
La fonction \(f(x) = x^2 + x\) peut se réécrire sous la forme \(f(x) = (x + \frac{1}{2})^2 – \frac{1}{4}\)
C’est donc une parabole dont le sommet est au point \((-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})\).
Calculons quelques valeurs :
\(f(-2) = (-2)^2 + (-2) = 4 – 2 = 2\)
\(f(-1) = (-1)^2 + (-1) = 1 – 1 = 0\)
\(f(0) = 0^2 + 0 = 0\)
\(f(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2\)
Étape 2 : Pour obtenir la courbe \((C_g)\), nous prenons la symétrique de \((C_f)\) par rapport à l’axe des ordonnées.
Les points caractéristiques de \((C_f)\) deviennent :
\((-2, 2) \to (2, 2)\)
\((-1, 0) \to (1, 0)\)
\((0, 0) \to (0, 0)\)
\((1, 2) \to (-1, 2)\)
Le sommet \((-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})\) devient \((\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})\)
Conclusion : La courbe \((C_g)\) est la symétrique de la courbe \((C_f)\) par rapport à l’axe des ordonnées. C’est une parabole ouverte vers le haut dont le sommet est au point \((\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})\).
Soit \(g(x) = f(|x|)\); sans étudier la fonction g, tracer (Cg) dans le même repère que (Cf)
Étape 1 : Écrire :
Si \(x \geq 0\) alors (Cg) = (Cf)
Si \(x \leq 0\) alors (Cg) et (Cf) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées
Étape 2 : Tracer (Cg) à partir de (Cf)
Soit \(f(x) = x^2 – 2x + 1\) pour \(x \geq 0\) et \(g(x) = f(|x|) = |x|^2 – 2|x| + 1\). Sans étudier la fonction \(g\), tracer \((C_g)\) dans le même repère que \((C_f)\).
Étape 1 : Identifions d’abord quelques caractéristiques de la fonction \(f\).
La fonction \(f(x) = x^2 – 2x + 1\) peut se réécrire sous la forme \(f(x) = (x – 1)^2\)
C’est donc une parabole dont le sommet est au point \((1, 0)\).
Calculons quelques valeurs :
\(f(0) = 0^2 – 2 \times 0 + 1 = 1\)
\(f(1) = 1^2 – 2 \times 1 + 1 = 1 – 2 + 1 = 0\)
\(f(2) = 2^2 – 2 \times 2 + 1 = 4 – 4 + 1 = 1\)
\(f(3) = 3^2 – 2 \times 3 + 1 = 9 – 6 + 1 = 4\)
Étape 2 : Pour tracer \((C_g)\), nous utilisons le fait que :
– Pour \(x \geq 0\), \(g(x) = f(|x|) = f(x)\), donc \((C_g)\) coïncide avec \((C_f)\)
– Pour \(x \leq 0\), \(g(x) = f(|x|) = f(-x)\), donc \((C_g)\) est symétrique à \((C_f)\) par rapport à l’axe des ordonnées
Pour \(x \leq 0\), nous avons :
\(g(-1) = f(|-1|) = f(1) = 0\)
\(g(-2) = f(|-2|) = f(2) = 1\)
\(g(-3) = f(|-3|) = f(3) = 4\)
Conclusion : La courbe \((C_g)\) est formée de la partie de \((C_f)\) correspondant à \(x \geq 0\), et de sa symétrique par rapport à l’axe des ordonnées pour \(x \leq 0\). C’est une parabole ouverte vers le haut, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, et dont le minimum est atteint au point \((0, 1)\).
Soit \(g(x) = f(x – a) + b\) ; sans étudier la fonction g, tracer (Cg) dans le même repère que (Cf)
Étape 1 : Écrire : (Cg) est l’image de (Cf) par la translation de vecteur \(a\vec{i} + b\vec{j}\)
Étape 2 : Tracer (Cg) à partir de (Cf)
Soit \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = f(x – 3) + 2 = (x – 3)^2 + 2\). Sans étudier la fonction \(g\), tracer \((C_g)\) dans le même repère que \((C_f)\).
Étape 1 : La fonction \(f(x) = x^2\) est représentée par une parabole passant par l’origine et ouverte vers le haut.
Calculons quelques valeurs :
\(f(-2) = (-2)^2 = 4\)
\(f(-1) = (-1)^2 = 1\)
\(f(0) = 0^2 = 0\)
\(f(1) = 1^2 = 1\)
\(f(2) = 2^2 = 4\)
Étape 2 : La courbe \((C_g)\) est obtenue à partir de la courbe \((C_f)\) par la translation de vecteur \(3\vec{i} + 2\vec{j}\).
Cela signifie que chaque point \((x, y)\) de \((C_f)\) est transformé en un point \((x+3, y+2)\) de \((C_g)\).
Ainsi :
\(f(-2) = 4 \to g(1) = 6\)
\(f(-1) = 1 \to g(2) = 3\)
\(f(0) = 0 \to g(3) = 2\)
\(f(1) = 1 \to g(4) = 3\)
\(f(2) = 4 \to g(5) = 6\)
Conclusion : La courbe \((C_g)\) est une parabole identique à \((C_f)\) mais décalée de 3 unités vers la droite et de 2 unités vers le haut. Son sommet est au point \((3, 2)\).
Calculer l’aire du domaine limité par (Cf), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = a\) et \(x = b\)
Cas où (Cf) est au dessus de l’axe des abscisses sur [a;b] (c.-à-d \(f \geq 0\) sur \([a;b]\))
\[ \begin{cases} a \leq x \leq b \\ 0 \leq y \leq f(x) \end{cases} \]
\[ \mathcal{A} = \int_a^b f(x) dx \times ua \]
Cas où (Cf) est en dessous de l’axe des abscisses sur [a;b] (c.-à-d \(f \leq 0\) sur \([a;b]\))
\[ \begin{cases} a \leq x \leq b \\ f(x) \leq y \leq 0 \end{cases} \]
\[ \mathcal{A} = -\int_a^b f(x) dx \times ua \]
Pour exprimer l’aire en \(cm^2\), \(ua = \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\|\) dans un repère orthogonal \((O;\vec{i},\vec{j})\)
Calculer l’aire du domaine limité par la courbe représentative de la fonction \(f(x) = x^2 – 4\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 3\).
Étape 1 : Déterminons où la fonction change de signe sur l’intervalle \([0, 3]\).
Résolvons \(f(x) = 0\) :
\(x^2 – 4 = 0\)
\(x^2 = 4\)
\(x = \pm 2\)
Donc \(f(x) = 0\) pour \(x = 2\) (car \(x \in [0, 3]\)).
Étape 2 : Déterminons le signe de \(f\) sur l’intervalle \([0, 3]\).
Pour \(x \in [0, 2[\), \(f(x) < 0\) (car \(x^2 < 4\)).
Pour \(x \in ]2, 3]\), \(f(x) > 0\) (car \(x^2 > 4\)).
Étape 3 : Calculons l’aire en la découpant en deux parties :
– Pour \(x \in [0, 2]\), \(f(x) \leq 0\), donc l’aire est donnée par \(A_1 = -\int_0^2 f(x) dx\).
– Pour \(x \in [2, 3]\), \(f(x) \geq 0\), donc l’aire est donnée par \(A_2 = \int_2^3 f(x) dx\).
Calculons \(A_1\) :
\(A_1 = -\int_0^2 (x^2 – 4) dx = -[\frac{x^3}{3} – 4x]_0^2 = -([\frac{2^3}{3} – 4 \times 2] – [\frac{0^3}{3} – 4 \times 0]) = -([\frac{8}{3} – 8] – 0) = -(-\frac{16}{3}) = \frac{16}{3}\)
Calculons \(A_2\) :
\(A_2 = \int_2^3 (x^2 – 4) dx = [\frac{x^3}{3} – 4x]_2^3 = [\frac{3^3}{3} – 4 \times 3] – [\frac{2^3}{3} – 4 \times 2] = [9 – 12] – [\frac{8}{3} – 8] = -3 – (-\frac{16}{3}) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{-9 + 16}{3} = \frac{7}{3}\)
L’aire totale est donc :
\(A = A_1 + A_2 = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}\)
Conclusion : L’aire du domaine est \(\frac{23}{3}\) unités d’aire.
Calculer l’aire du domaine limité par (Cf), la droite (Δ): \(y = mx + p\) et les droites d’équations \(x = a\) et \(x = b\)
Cas où (Cf) est au-dessus de (Δ) sur [a;b]
\[ \begin{cases} a \leq x \leq b \\ mx + p \leq y \leq f(x) \end{cases} \]
\[ \mathcal{A} = \int_a^b [f(x) – (mx+p)] dx \times ua \]
Cas où (Cf) est en-dessous de (Δ) sur [a;b]
\[ \begin{cases} a \leq x \leq b \\ f(x) \leq y \leq mx + p \end{cases} \]
\[ \mathcal{A} = \int_a^b [(mx+p) – f(x)] dx \times ua \]
Calculer l’aire du domaine limité par la courbe représentative de la fonction \(f(x) = x^2\), la droite d’équation \(y = 4\) et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 3\).
Étape 1 : Déterminons les positions relatives de la courbe et de la droite sur l’intervalle \([0, 3]\).
Résolvons \(f(x) = 4\) :
\(x^2 = 4\)
\(x = \pm 2\)
Comme \(x \in [0, 3]\), seule la solution \(x = 2\) est valable.
Étape 2 : Comparons \(f(x)\) et \(4\) sur l’intervalle \([0, 3]\).
Pour \(x \in [0, 2[\), \(f(x) = x^2 < 4\), donc la courbe est en-dessous de la droite.
Pour \(x \in ]2, 3]\), \(f(x) = x^2 > 4\), donc la courbe est au-dessus de la droite.
Étape 3 : Calculons l’aire en la découpant en deux parties :
– Pour \(x \in [0, 2]\), \(f(x) \leq 4\), donc l’aire est \(A_1 = \int_0^2 [4 – x^2] dx\).
– Pour \(x \in [2, 3]\), \(f(x) \geq 4\), donc l’aire est \(A_2 = \int_2^3 [x^2 – 4] dx\).
Calculons \(A_1\) :
\(A_1 = \int_0^2 [4 – x^2] dx = [4x – \frac{x^3}{3}]_0^2 = [4 \times 2 – \frac{2^3}{3}] – [4 \times 0 – \frac{0^3}{3}] = [8 – \frac{8}{3}] – 0 = \frac{24 – 8}{3} = \frac{16}{3}\)
Calculons \(A_2\) :
\(A_2 = \int_2^3 [x^2 – 4] dx = [\frac{x^3}{3} – 4x]_2^3 = [\frac{3^3}{3} – 4 \times 3] – [\frac{2^3}{3} – 4 \times 2] = [9 – 12] – [\frac{8}{3} – 8] = -3 – (-\frac{16}{3}) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{-9 + 16}{3} = \frac{7}{3}\)
L’aire totale est donc :
\(A = A_1 + A_2 = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}\)
Conclusion : L’aire du domaine est \(\frac{23}{3}\) unités d’aire.
Calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses du domaine limité par (Cf), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = a\) et \(x = b\)
Étape 1 : Écrire :
\[ \mathcal{V} = \pi \int_a^b f^2(x) dx \times uv \]
Étape 2 : Chercher \(f^2(x)\) avant de passer au calcul de l’intégrale
Pour exprimer le volume en \(cm^3\), \(uv = \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\| \times \|\vec{k}\|\) dans un repère orthogonal \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\)
Calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses du domaine limité par la courbe représentative de la fonction \(f(x) = \sqrt{x}\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 1\) et \(x = 4\).
Étape 1 : Calculons d’abord \(f^2(x)\).
\(f^2(x) = (\sqrt{x})^2 = x\)
Étape 2 : Appliquons la formule du volume de révolution.
\(\mathcal{V} = \pi \int_1^4 f^2(x) dx = \pi \int_1^4 x dx = \pi [\frac{x^2}{2}]_1^4 = \pi [\frac{4^2}{2} – \frac{1^2}{2}] = \pi [\frac{16 – 1}{2}] = \pi \times \frac{15}{2} = \frac{15\pi}{2}\)
Conclusion : Le volume du solide de révolution est \(\frac{15\pi}{2}\) unités de volume.
Montrer que F est une primitive de f sur un intervalle I
Étape 1 : Calculer \(F'(x)\)
Étape 2 : Conclure
Ce qu’il faut savoir :
\(\to\) Si \(F'(x) = f(x)\) alors F est une primitive de f
Montrer que la fonction \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 5x\) est une primitive de la fonction \(f(x) = x^2 – 4x + 5\) sur \(\mathbb{R}\).
Étape 1 : Calculons \(F'(x)\).
\(F'(x) = \frac{1}{3} \times 3x^2 – 2 \times 2x + 5 \times 1 = x^2 – 4x + 5\)
Étape 2 : Vérifions si \(F'(x) = f(x)\).
\(F'(x) = x^2 – 4x + 5 = f(x)\)
Conclusion : Comme \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), la fonction \(F\) est bien une primitive de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Déterminer les réels a et b (ou les réels a, b et c) pour que F soit une primitive de f sur un intervalle I
Étape 1 : Calculer \(F'(x)\) en fonction de a et b (ou en fonction de a, b et c)
Étape 2 : Écrire l’égalité \(F'(x) = f(x)\) et faire une identification des coefficients
Déterminer les réels \(a\) et \(b\) pour que la fonction \(F(x) = ax^3 + bx^2 + 1\) soit une primitive de la fonction \(f(x) = 3x^2 + 4x\) sur \(\mathbb{R}\).
Étape 1 : Calculons \(F'(x)\) en fonction de \(a\) et \(b\).
\(F'(x) = 3ax^2 + 2bx\)
Étape 2 : Pour que \(F\) soit une primitive de \(f\), il faut que \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
\(F'(x) = f(x)\)
\(3ax^2 + 2bx = 3x^2 + 4x\)
En identifiant les coefficients, nous obtenons :
Pour \(x^2\) : \(3a = 3\), donc \(a = 1\)
Pour \(x\) : \(2b = 4\), donc \(b = 2\)
Conclusion : Les valeurs de \(a\) et \(b\) sont \(a = 1\) et \(b = 2\).
Soit F la fonction définie par \(F(x) = \int_a^x f(t) dt\) ; que représente F pour f ?
Il suffit d’écrire que F est la primitive de f qui s’annule en a
Soit \(f\) une fonction continue sur \(\mathbb{R}\) et \(F\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(F(x) = \int_0^x f(t) dt\). Que représente \(F\) pour \(f\) ?
D’après le théorème fondamental de l’analyse, la fonction \(F\) définie par \(F(x) = \int_0^x f(t) dt\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sa dérivée est :
\(F'(x) = f(x)\)
De plus, \(F(0) = \int_0^0 f(t) dt = 0\)
Conclusion : La fonction \(F\) est la primitive de \(f\) qui s’annule en 0.
Soit F la fonction définie par \(F(x) = \int_a^x f(t) dt\) ; montrer que F est dérivable et calculer sa dérivée
Il suffit d’écrire que F étant la primitive de f qui s’annule en a, alors F est dérivable et \(F'(x) = f(x)\)
Soit \(f\) une fonction continue sur \(\mathbb{R}\) et \(F\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(F(x) = \int_1^x t^2 \sin(t) dt\). Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer sa dérivée.
La fonction \(t \mapsto t^2 \sin(t)\) est continue sur \(\mathbb{R}\) car c’est le produit de deux fonctions continues.
D’après le théorème fondamental de l’analyse, la fonction \(F\) définie par \(F(x) = \int_1^x t^2 \sin(t) dt\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sa dérivée est :
\(F'(x) = x^2 \sin(x)\)
Conclusion : La fonction \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(F'(x) = x^2 \sin(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Donner une interprétation géométrique de l’intégrale \(\int_a^b f(x) dx\)
(sous réserve que \(a < b\) et que \(\forall x \in [a ; b], f(x) \geq 0\))
Écrire simplement que \(\int_a^b f(x) dx\) est l’aire en unité d’aire du domaine limité par la courbe (Cf), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = a\) et \(x = b\)
Donner une interprétation géométrique de l’intégrale \(\int_0^3 (4-x^2) dx\).
Étape 1 : Vérifions que la fonction \(f(x) = 4-x^2\) est positive sur l’intervalle \([0, 3]\).
La fonction \(f\) s’annule pour \(x^2 = 4\), c’est-à-dire pour \(x = \pm 2\).
Pour \(x \in [0, 2]\), nous avons \(f(x) \geq 0\).
Pour \(x \in [2, 3]\), nous avons \(f(x) \leq 0\).
Étape 2 : L’intégrale \(\int_0^3 (4-x^2) dx\) peut s’écrire comme la différence de deux intégrales :
\(\int_0^3 (4-x^2) dx = \int_0^2 (4-x^2) dx + \int_2^3 (4-x^2) dx\)
Étape 3 : Interprétation géométrique :
– \(\int_0^2 (4-x^2) dx\) représente l’aire du domaine limité par la courbe d’équation \(y = 4-x^2\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 2\).
– \(\int_2^3 (4-x^2) dx\) est négative et représente l’opposé de l’aire du domaine limité par la courbe d’équation \(y = 4-x^2\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 2\) et \(x = 3\).
Conclusion : L’intégrale \(\int_0^3 (4-x^2) dx\) représente l’aire du domaine limité par la courbe d’équation \(y = 4-x^2\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 2\), moins l’aire du domaine limité par la courbe d’équation \(y = 4-x^2\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 2\) et \(x = 3\).
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