Les Suites Réelles: Guide Complet pour le Baccalauréat Tunisien
Le chapitre « Suites réelles » est fondamental dans le programme de mathématiques du baccalauréat tunisien. Ce guide, préparé par l’équipe pédagogique de Tunis Academy, vous présente les concepts essentiels, les théorèmes importants et des exercices pratiques pour maîtriser ce chapitre décisif.
« Dans son traité d’Arithmétique, As-Samaw’al (1172) écrit : « Ce que l’on extrait par approximation des racines irrationnelles au moyen du calcul est ce par quoi on veut obtenir une quantité rationnelle proche de la racine irrationnelle. Il peut exister une quantité rationnelle plus proche de la racine irrationnelle que celle-là. Il peut ensuite exister une troisième quantité rationnelle, plus proche de la racine irrationnelle que la deuxième quantité et que la première, car pour toute quantité rationnelle supposée proche d’une racine irrationnelle, la différence entre elles est en vérité une ligne droite, et la ligne est susceptible d’être divisée et d’être partagée, indéfiniment. C’est pourquoi il devient possible de trouver continûment une quantité rationnelle proche de la racine irrationnelle, et de trouver une autre quantité rationnelle plus proche que la première de l’irrationnelle, indéfiniment. » – R. Rashed, Entre Arithmétique et Algèbre, 1984.
I. Introduction aux suites numériques
Une suite numérique est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs dans ℝ. Pour une suite $(u_n)$, à chaque entier naturel n, on associe un nombre réel noté $u_n$.
Modes de définition d’une suite
- Par une formule explicite : $u_n = f(n)$ où f est une fonction définie sur ℕ ou une partie de ℕ
- Par une relation de récurrence : on donne la valeur de $u_0$ ou $u_1$ et une relation permettant de calculer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$
- Par une double relation de récurrence : on donne les valeurs de $u_0$ et $u_1$ et une relation permettant de calculer $u_{n+2}$ en fonction de $u_n$ et $u_{n+1}$
Exemples de suites
- Suite définie explicitement : $u_n = \frac{1}{n}$ pour $n \geq 1$
- Suite définie par récurrence : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n – 1$ pour $n \geq 0$
- Suite définie par une formule générale : $u_n = n^2 + 1$ pour $n \geq 0$
II. Limites de suites
La notion de limite d’une suite est essentielle. Une suite peut converger vers une valeur finie, diverger vers l’infini, ou ne pas avoir de limite.
Définition de la convergence
On dit que la suite $(u_n)$ converge vers la limite $\ell$ (finie) si pour tout réel $\varepsilon > 0$, il existe un rang $N_0$ tel que pour tout $n \geq N_0$, on a $|u_n – \ell| < \varepsilon$.
On note alors : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$
Théorème fondamental sur les suites géométriques
Soit $(u_n)$ une suite géométrique définie par $u_n = q^n$ avec $q$ un réel non nul.
- Si $q > 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
- Si $|q| < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$
- Si $q \leq -1$, alors la suite $(u_n)$ n’a pas de limite
- Si $q = 1$, alors la suite $(u_n)$ est constante égale à 1
Comportement des suites géométriques selon la valeur de q
Opérations sur les limites de suites
Si les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ont pour limites respectives $\ell$ et $\ell’$ (finies), alors :
- $\lim(u_n + v_n) = \ell + \ell’$
- $\lim(u_n \times v_n) = \ell \times \ell’$
- $\lim(\frac{u_n}{v_n}) = \frac{\ell}{\ell’}$ si $\ell’ \neq 0$
Des règles similaires s’appliquent lorsque certaines limites sont infinies (voir tableau ci-dessous).
| lim $u_n$ | lim $v_n$ | lim $(u_n + v_n)$ | lim $(u_n \times v_n)$ | lim $(\frac{u_n}{v_n})$ |
|---|---|---|---|---|
| $\ell$ (fini) | $\ell’$ (fini) | $\ell + \ell’$ | $\ell \times \ell’$ | $\frac{\ell}{\ell’}$ si $\ell’ \neq 0$ |
| $\ell$ (fini) | $+\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ si $\ell > 0$ $-\infty$ si $\ell < 0$ Indéterminé si $\ell = 0$ |
0 |
| $+\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ | Indéterminé |
| $+\infty$ | $-\infty$ | Indéterminé | $-\infty$ | Indéterminé |
Activité 1
Dans chacun des cas ci-dessous, calculer la limite de la suite $(u_n)$.
- $u_n = \frac{1}{n}$, $n \geq 1$
- $u_n = n^2 + 1$, $n \geq 0$
- $u_n = 10^n$, $n \geq 0$
Formes indéterminées
Lorsqu’on calcule des limites, on peut rencontrer des formes indéterminées :
- $\frac{0}{0}$ : utiliser des techniques comme la factorisation ou la règle de l’Hôpital
- $\frac{\infty}{\infty}$ : diviser numérateur et dénominateur par la plus haute puissance
- $\infty – \infty$ : mettre sur le même dénominateur ou utiliser d’autres transformations
- $0 \times \infty$ : transformer en une forme $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$
III. Suites monotones
Définitions
Une suite $(u_n)$ est :
- Croissante si pour tout $n \geq 0$, $u_n \leq u_{n+1}$
- Strictement croissante si pour tout $n \geq 0$, $u_n < u_{n+1}$
- Décroissante si pour tout $n \geq 0$, $u_n \geq u_{n+1}$
- Strictement décroissante si pour tout $n \geq 0$, $u_n > u_{n+1}$
Une suite monotone est soit croissante, soit décroissante.
Théorème fondamental sur les suites monotones
Si une suite $(u_n)$ est croissante et majorée, alors elle converge vers un réel.
Si une suite $(u_n)$ est décroissante et minorée, alors elle converge vers un réel.
Conséquences importantes
- Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$
- Une suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$
- Toute suite convergente est bornée (elle est à la fois majorée et minorée)
Comportement des suites monotones : convergentes ou divergentes
Exemple d’étude de monotonie
Considérons la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{3u_n}$ pour $n \geq 0$.
Étape 1 : Montrons que la suite est croissante et majorée par 3.
Pour $n = 0$, $u_0 = 1$ et $u_1 = \sqrt{3} \approx 1,73 > 1 = u_0$.
Supposons que $u_n \leq u_{n+1}$ pour un certain $n \geq 0$.
Alors $u_{n+1} = \sqrt{3u_n} \leq \sqrt{3u_{n+1}} = u_{n+2}$ car la fonction $x \mapsto \sqrt{3x}$ est croissante.
Donc la suite est croissante par récurrence.
Pour la majoration, montrons que $u_n \leq 3$ pour tout $n \geq 0$.
Pour $n = 0$, $u_0 = 1 < 3$.
Supposons que $u_n \leq 3$ pour un certain $n \geq 0$.
Alors $u_{n+1} = \sqrt{3u_n} \leq \sqrt{3 \times 3} = 3$.
Donc $u_n \leq 3$ pour tout $n \geq 0$.
Étape 2 : D’après le théorème sur les suites monotones, la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$.
Étape 3 : Déterminons cette limite. Comme $u_{n+1} = \sqrt{3u_n}$ et $\lim u_{n+1} = \lim u_n = \ell$, on a :
$\ell = \sqrt{3\ell}$, donc $\ell^2 = 3\ell$, ce qui donne $\ell = 0$ ou $\ell = 3$.
Comme la suite est croissante et $u_0 = 1 > 0$, on a $\ell \neq 0$. Donc $\ell = 3$.
IV. Suites adjacentes
Définition
Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes lorsqu’elles vérifient les conditions suivantes :
- Pour tout $n \geq 0$, $u_n \leq v_n$
- La suite $(u_n)$ est croissante
- La suite $(v_n)$ est décroissante
- La suite $(v_n – u_n)$ converge vers 0
Théorème fondamental sur les suites adjacentes
Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.
Illustration graphique du concept de suites adjacentes
Exemple
Soit la fonction $f : x \mapsto 1 + \frac{2}{x+1}$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour $n \geq 0$.
- Montrer que pour tout entier $n$, $u_n$ est positif.
- Montrer que pour tous réels $x$ et $y$ différents de $-1$, $f(x) – f(y) = \frac{2(y-x)}{(x+1)(y+1)}$.
- En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante pour $n \geq 1$.
- Montrer que la suite $(u_n)$ est minorée par 1.
- Conclure que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
Solution :
1. $u_0 = 1 > 0$. Si $u_n > 0$, alors $u_{n+1} = 1 + \frac{2}{u_n+1} > 0$ car $u_n+1 > 0$. Par récurrence, $u_n > 0$ pour tout $n$.
2. $f(x) – f(y) = (1 + \frac{2}{x+1}) – (1 + \frac{2}{y+1}) = \frac{2}{x+1} – \frac{2}{y+1} = \frac{2(y-x)}{(x+1)(y+1)}$
3. Pour $n \geq 1$, montrons que $u_{n+1} < u_n$. On a $f(u_n) - f(u_{n-1}) = \frac{2(u_{n-1}-u_n)}{(u_n+1)(u_{n-1}+1)}$.
Or, $u_1 = f(1) = 1 + \frac{2}{1+1} = 1 + 1 = 2$ et $u_2 = f(2) = 1 + \frac{2}{2+1} = 1 + \frac{2}{3} = 1 + \frac{2}{3} < 2 = u_1$.
Par récurrence, si $u_n < u_{n-1}$, alors $u_{n-1} - u_n > 0$, donc $f(u_n) – f(u_{n-1}) < 0$, soit $u_{n+1} - u_n < 0$, donc $u_{n+1} < u_n$.
4. Montrons que $u_n \geq 1$ pour tout $n$. On a $u_0 = 1 \geq 1$. Supposons que $u_n \geq 1$.
Alors $u_{n+1} = 1 + \frac{2}{u_n+1} \geq 1 + \frac{2}{1+1} = 1 + 1 = 2 > 1$.
Donc $u_n \geq 1$ pour tout $n$.
5. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée, donc elle converge vers une limite $\ell \geq 1$.
De plus, comme $u_{n+1} = f(u_n)$ et $\lim u_{n+1} = \lim u_n = \ell$, on a $\ell = f(\ell) = 1 + \frac{2}{\ell+1}$.
Donc $\ell(\ell+1) = (\ell+1) + 2$, soit $\ell^2 + \ell = \ell + 1 + 2$, donc $\ell^2 = 3$, et comme $\ell \geq 1$, on a $\ell = \sqrt{3}$.
V. Suites récurrentes
Les suites définies par récurrence sont souvent de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f$ est une fonction continue.
Théorème du point fixe
Soit une suite $(u_n)$ vérifiant la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f$ est une fonction continue.
Si la suite $(u_n)$ est convergente vers un réel $\ell$, alors $\ell = f(\ell)$.
Autrement dit, la limite est un point fixe de la fonction $f$.
Stratégie pour l’étude des suites récurrentes
- Montrer que la suite est monotone (croissante ou décroissante)
- Montrer que la suite est bornée (majorée si croissante, minorée si décroissante)
- En déduire que la suite converge vers une limite $\ell$
- Déterminer cette limite en résolvant l’équation $\ell = f(\ell)$
Activité 2
Soit la suite $(a_n)$ définie par $a_0 = 1$ et $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1}$ pour $n \geq 0$.
- Montrer que la suite $(a_n)$ est croissante et majorée par 2.
- Déterminer sa limite.
Besoin d’aide pour maîtriser les suites réelles?
Chez Tunis Academy, nos cours particuliers en ligne sont spécialement conçus pour vous aider à exceller dans les mathématiques du baccalauréat tunisien.
Notre approche pédagogique combine:
- Des explications claires des concepts théoriques
- Des exercices pratiques adaptés au programme officiel
- Des séances interactives avec des enseignants expérimentés
- Un accès à des ressources complémentaires exclusives
Conseils pour réussir l’épreuve de mathématiques
Pour bien maîtriser le chapitre « Suites réelles » et l’ensemble du programme de mathématiques, suivez ces recommandations:
- Connaître parfaitement les définitions et théorèmes – La base de tout raisonnement mathématique.
- S’entraîner régulièrement – Résolvez de nombreux exercices pour acquérir des automatismes.
- Comprendre plutôt que mémoriser – Cherchez à comprendre la logique derrière chaque résultat.
- Utiliser la représentation graphique – Un dessin vaut mieux qu’un long discours, surtout en mathématiques.
- Vérifier vos résultats – Dans le cas des suites définies par récurrence, calculez les premiers termes pour confirmer votre raisonnement.
Astuce pour le jour de l’examen
Dans les exercices sur les suites, commencez toujours par calculer les premiers termes. Cela vous donnera souvent une intuition sur le comportement de la suite et vous aidera à conjecturer sa limite éventuelle.
Les commentaires sont fermés.