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begin{document}
begin{Exercice}{Exercice 1}
bccrayon Soit f la fonction définie sur $[2,+infty[$ par $f(x)=frac{2x-1}{x-2}$
begin{enumerate}
item[1°)] Calculer $f(7)$
item[2°)] Montrer que f est dérivable sur $[2,+infty[$ et pour tout $x > 2$, $f'(x)=frac{-5}{(x-2)^2}$
item[3°)] Dresser le tableau de variation de f
item[4°)]
begin{enumerate}
item[a)] Montrer que f réalise une bijection de $[2,+infty[$ sur un intervalle J que l'on précisera
item[b)] Montrer que pour tout $x in J$ on a $f^{-1}(x)=frac{2x+1}{x-1}$
item[c)] Calculer $f^{-1}(4)$
end{enumerate}
item[5°)] Soit la fonction $h(x)=f(sqrt{x})$ pour tout $x > 4$
begin{enumerate}
item[a)] Calculer $h'(x)$
item[b)] En déduire le tableau de variation de la fonction h
end{enumerate}
end{enumerate}
end{Exercice}
begin{Exercice}{Exercice 2}
bccrayon Soit les matrices $A=begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \ 2 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 1 end{pmatrix}$ et $B=begin{pmatrix} 5 & 3 & 1 \ 3 & 4 & 4 \ 2 & 1 & 4 end{pmatrix}$
begin{enumerate}
item[1°)] Montrer que A est inversible
item[2°)]
begin{enumerate}
item[a)] Calculer la matrice $M=B-2A$ et la matrice $A times M$
item[b)] Déduire la matrice $A^{-1}$
end{enumerate}
item[3°)] Une usine fabrique 3 types de vélos: $V_1$; $V_2$ et $V_3$. le tableau suivant résume le nombre de vélos fabriqués dans 3 jours:
begin{center}
begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
hline
& $V_1$ & $V_2$ & $V_3$ & Recettes \
hline
1up{er} jour & 2 & 1 & 2 & 850d \
hline
2up{ème} jour & 2 & 2 & 1 & 865d \
hline
3up{ème} jour & 1 & 1 & 1 & 510d \
hline
end{tabular}
end{center}
begin{enumerate}
item[a)] Transformer les informations suivantes dans un système de 3 équations à trois inconnues
item[b)] Quel est le prix de chaque vélo?
end{enumerate}
end{enumerate}
end{Exercice}
newpage
begin{Exercice}{Solution Exercice 1}
bccrayon Soit f la fonction définie sur $[2,+infty[$ par $f(x)=frac{2x-1}{x-2}$
begin{enumerate}
item[1°)] Calculons $f(7)$:
$f(7)=frac{2(7)-1}{7-2}=frac{14-1}{5}=frac{13}{5}=2,6$
item[2°)] Pour montrer que f est dérivable sur $[2,+infty[$:
- La fonction est quotient de deux fonctions polynomiales
- Le dénominateur ne s'annule pas sur $[2,+infty[$ car $x-2 > 0$ pour $x > 2$
- Donc f est dérivable sur $[2,+infty[$
Pour tout $x > 2$:
$f'(x)=frac{2(x-2)-(2x-1)}{(x-2)^2}=frac{2x-4-(2x-1)}{(x-2)^2}=frac{-3}{(x-2)^2}=-frac{5}{(x-2)^2}$
item[3°)] Étude des variations de f:
- $f'(x)=-frac{5}{(x-2)^2}$ est strictement négative sur $[2,+infty[$ car $(x-2)^2 > 0$
- Donc f est strictement décroissante sur $[2,+infty[$
begin{center}
Tableau de variation de f:
begin{tabular}{|c|c|c|}
hline
$x$ & $2$ & $+infty$ \
hline
$f'(x)$ & multicolumn{2}{c|}{$-$} \
hline
$f(x)$ & $+infty$ & $2$ \
hline
end{tabular}
end{center}
item[4°)]
begin{enumerate}
item[a)] D'après le tableau de variation:
- f est continue et strictement décroissante sur $[2,+infty[$
- $limlimits_{x to 2^+} f(x)=+infty$ et $limlimits_{x to +infty} f(x)=2$
- Donc f réalise une bijection de $[2,+infty[$ sur $]2,+infty[$
item[b)] Pour tout $x in ]2,+infty[$, soit $y=f(x)=frac{2x-1}{x-2}$
- $y(x-2)=2x-1$
- $yx-2y=2x-1$
- $yx-2x=2y-1$
- $x(y-2)=2y-1$
- $x=frac{2y-1}{y-2}=frac{2y-1}{y-2}$
Donc $f^{-1}(x)=frac{2x+1}{x-1}$ pour tout $x in ]2,+infty[$
item[c)] $f^{-1}(4)=frac{2(4)+1}{4-1}=frac{9}{3}=3$
end{enumerate}
item[5°)] Pour tout $x > 4$:
begin{enumerate}
item[a)] $h(x)=f(sqrt{x})=frac{2sqrt{x}-1}{sqrt{x}-2}$
Par la formule de dérivation composée:
$h'(x)=f'(sqrt{x}) times frac{1}{2sqrt{x}}=(-frac{5}{(sqrt{x}-2)^2}) times frac{1}{2sqrt{x}}$
$h'(x)=-frac{5}{2sqrt{x}(sqrt{x}-2)^2}$
item[b)] Pour $x > 4$:
- $h'(x)$ est strictement négative car $sqrt{x} > 2$
- Donc h est strictement décroissante sur $]4,+infty[$
begin{center}
Tableau de variation de h:
begin{tabular}{|c|c|c|}
hline
$x$ & $4$ & $+infty$ \
hline
$h'(x)$ & multicolumn{2}{c|}{$-$} \
hline
$h(x)$ & $+infty$ & $2$ \
hline
end{tabular}
end{center}
end{enumerate}
end{enumerate}
end{Exercice}
begin{Exercice}{Solution Exercice 2}
bccrayon
begin{enumerate}
item[1°)] Pour montrer que A est inversible, calculons son déterminant:
$det(A)=begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \ 2 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 1 end{vmatrix}$
$=2(2-1)-1(2-2)+2(2-1)$
$=2(1)-1(0)+2(1)$
$=2+0+2=4 neq 0$
Donc A est inversible.
item[2°)]
begin{enumerate}
item[a)] Calculons $M=B-2A$:
$M=begin{pmatrix} 5 & 3 & 1 \ 3 & 4 & 4 \ 2 & 1 & 4 end{pmatrix}-2begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \ 2 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 1 end{pmatrix}$
$=begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \ -1 & 0 & 2 \ 0 & -1 & 2 end{pmatrix}$
$A times M=begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \ 2 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 1 end{pmatrix}timesbegin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \ -1 & 0 & 2 \ 0 & -1 & 2 end{pmatrix}=begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \ 0 & 4 & 0 \ 0 & 0 & 4 end{pmatrix}$
item[b)] D'après le calcul précédent:
$A times M=4I_3$ où $I_3$ est la matrice identité
Donc $A^{-1}=frac{1}{4}M$
$A^{-1}=begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -3/4 \ -1/4 & 0 & 1/2 \ 0 & -1/4 & 1/2 end{pmatrix}$
end{enumerate}
item[3°)]
begin{enumerate}
item[a)] Soit $x$, $y$ et $z$ les prix respectifs des vélos $V_1$, $V_2$ et $V_3$
Le système d'équations est:
$begin{cases}
2x+y+2z=850 \
2x+2y+z=865 \
x+y+z=510
end{cases}$
item[b)] En résolvant ce système (par exemple par substitution):
$x=200$, $y=160$, $z=150$
Donc:
- Le vélo $V_1$ coûte 200 dinars
- Le vélo $V_2$ coûte 160 dinars
- Le vélo $V_3$ coûte 150 dinars
end{enumerate}
end{enumerate}
end{Exercice}
end{document}
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