chapitre 1

Chapitre I : La densité d’états électroniques en énergie dans un semiconducteur

I- Généralités

II- Modélisation d’un matériau en bandes d’énergie
II-1. Rappel sur la structure électronique d’un atome
II-2. Structure électronique d’un solide. Bandes d’énergie
III- Distinction entre métal – semiconducteur – isolant
IV- La densité d’états dans l’espace réciproque
IV-1. Valeurs discrètes de k. Espace réciproque
IV-2. Densité d’états électroniques g ( k ) g ( k ) g(k)\mathbf{g}(\mathbf{k})g(k)
V- Loi de dispersion de l’énergie au voisinage de ses extrémums
V-1. Loi de dispersion E ( k → ) E ( k → ) E( vec(k))\mathbf{E}(\vec{k})E(k→)
V-2. Nature énergétique d’un semiconducteur
VI- Densité d’états électroniques en énergie N ( E ) N ( E ) N(E)\mathcal{N}(\mathbf{E})N(E)
VI-1. Définition
VI-2. Etats permis dans la bande de conduction
VI-3. Etats permis dans la bande de valence

Chapitre I : La densité d’états électroniques en énergie dans un semiconducteur

I- Généralités

Les semiconducteurs sont les matériaux de base des composants électroniques (diodes, transistors, …) et optoélectroniques (photo-détecteurs, photoémetteurs, photopiles, …). Leur résistivité ρ ρ rho\rhoρ varie dans un domaine de valeurs intermédiaires entre celles du métal ρ m ρ m rho_(m)\rho_{m}ρm et de l’isolant ρ i ( ρ i < ρ s < ρ m ) ρ i ρ i < ρ s < ρ m rho_(i)(rho_(i) < rho_(s) < rho_(m))\rho_{i}\left(\rho_{i}<\rho_{s}<\rho_{m}\right)ρi(ρi<ρs<ρm) :
  • Métal : ρ m = 10 − 8 − 10 − 3 Ω cm ρ m = 10 − 8 − 10 − 3 Ω cm rho_(m)=10^(-8)-10^(-3)Omegacm\rho_{m}=10^{-8}-10^{-3} \Omega \mathrm{~cm}ρm=10−8−10−3Ω cm

Exemples:

ρ C u = 1 , 7 × 10 − 6 Ω cm ; ρ A l = 2 , 7 × 10 − 6 Ω cm ; ρ A u = 3 , 2 × 10 − 6 Ω cm ; ρ W = 10 − 5 Ω cm ρ C u = 1 , 7 × 10 − 6 Ω cm ; ρ A l = 2 , 7 × 10 − 6 Ω cm ; ρ A u = 3 , 2 × 10 − 6 Ω cm ; ρ W = 10 − 5 Ω cm rho_(Cu)=1,7xx10^(-6)Omegacm;rho_(Al)=2,7xx10^(-6)Omegacm;rho_(Au)=3,2xx10^(-6)Omegacm;rho_(W)=10^(-5)Omegacm\rho_{C u}=1,7 \times 10^{-6} \Omega \mathrm{~cm} ; \rho_{A l}=2,7 \times 10^{-6} \Omega \mathrm{~cm} ; \rho_{A u}=3,2 \times 10^{-6} \Omega \mathrm{~cm} ; \rho_{W}=10^{-5} \Omega \mathrm{~cm}ρCu=1,7×10−6Ω cm;ρAl=2,7×10−6Ω cm;ρAu=3,2×10−6Ω cm;ρW=10−5Ω cm à la température ambiante T a = 300 K T a = 300 K T_(a)=300K\mathrm{T}_{\mathrm{a}}=300 \mathrm{~K}Ta=300 K.
  • Semiconducteur : ρ s c = 10 − 3 − 10 5 Ω cm ρ s c = 10 − 3 − 10 5 Ω cm rho_(sc)=10^(-3)-10^(5)Omegacm\rho_{s c}=10^{-3}-10^{5} \Omega \mathrm{~cm}ρsc=10−3−105Ω cm
La résistivité électrique d’un semiconducteur à la température ambiante T a T a T_(a)\mathrm{T}_{\mathrm{a}}Ta dépend de sa nature chimique et de son dopage.
  • Isolant : ρ i = 10 6 − 10 18 Ω cm ρ i = 10 6 − 10 18 Ω cm rho_(i)=10^(6)-10^(18)Omegacm\rho_{i}=10^{6}-10^{18} \Omega \mathrm{~cm}ρi=106−1018Ω cm.

Exemples:

ρ S i 3 N 4 = 10 14 − 10 15 Ω cm ; ρ Al 2 O 3 = 10 16 Ω cm ; ρ SiO 2 = 10 16 − 10 17 Ω cm à T a = 300 K . ρ S i 3 N 4 = 10 14 − 10 15 Ω cm ; ρ Al 2 O 3 = 10 16 Ω cm ; ρ SiO 2 = 10 16 − 10 17 Ω cm  à  T a = 300 K . {:[rho_(Si_(3)N_(4))=10^(14)-10^(15)Omegacm;rho_(Al_(2)O_(3))=10^(16)Omegacm;rho_(SiO_(2))=10^(16)-10^(17)Omegacm],[ » à « T_(a)=300K.]:}\begin{aligned} & \rho_{{S i_{3} N_{4}}}=10^{14}-10^{15} \Omega \mathrm{~cm} ; \rho_{\mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3}}=10^{16} \Omega \mathrm{~cm} ; \rho_{\mathrm{SiO}_{2}}=10^{16}-10^{17} \Omega \mathrm{~cm} \\ & \text { à } \mathrm{T}_{\mathrm{a}}=300 \mathrm{~K} . \end{aligned}ρSi3N4=1014−1015Ω cm;ρAl2O3=1016Ω cm;ρSiO2=1016−1017Ω cm à Ta=300 K.
La conductivité électrique σ s c = 1 ρ s c σ s c = 1 ρ s c sigma_(sc)=(1)/(rho_(sc))\sigma_{s c}=\frac{1}{\rho_{s c}}σsc=1ρsc d’un semiconducteur augmente rapidement avec la température. En fait, les propriétés physiques d’un matériau, notamment ses propriétés électroniques et optiques sont en général intimement liées à la répartition énergétique de ses porteurs de charge (électron ( e ¯ ) , … e ¯ ) , … bar(e)),dots\bar{e}), \ldotse¯),… ).L’analyse de cette distribution conduit à la notion de bandes d’énergie qui est considérée comme un modèle adéquat pour la précision de la nature d’un matériau donné.

II- Modélisation d’un matériau en bandes d’énergie
II-1. Rappels sur la structure électronique d’un atome

L’énergie des électrons d’un atome ne peut prendre que des valeurs discrètes bien déterminées correspondantes à des orbites données. Ces orbites, décrites par les électrons au cours de leurs mouvements, sont caractérisées par 4 nombres quantiques (Figure I-1):

– Nombre quantique principal n

A ces niveaux d’énergie correspondent des couches dans lesquelles les électrons ( e ¯ s e ¯ s bar(e)s\bar{e} se¯s ) sont répartis. En partant du noyau, ces couches sont désignées par les lettres K , L, M , N , … M , N , … M,N,dots\mathrm{M}, \mathrm{N}, \ldotsM,N,… et sont repérées par le nombre quantique principal n n n\mathbf{n}n égal respectivement à 1 , 2 , 3 , 4 , … 1 , 2 , 3 , 4 , … 1,2,3,4,dots1,2,3,4, \ldots1,2,3,4,…

– Nombre quantique azimutal ℓ ℓ ℓ\ellℓ

Chaque couche est divisée en sous couches notées s, p, d, f, … auxquelles correspond un nombre quantique azimutal ℓ ℓ ℓ\boldsymbol{\ell}ℓ égal respectivement à 0 , 1 , 2 , 3 , … , n − 1 0 , 1 , 2 , 3 , … , n − 1 0,1,2,3,dots,n-10,1,2,3, \ldots, n-10,1,2,3,…,n−1.
Figure I-1 : Structure électronique d’un atome.

– Nombre quantique magnétique m ℓ m ℓ m_(ℓ)\mathbf{m}_{\boldsymbol{\ell}}mℓ

Les électrons sont caractérisés dans leurs sous couches par un moment angulaire magnétique auquel correspond un nombre quantique magnétique m ℓ m ℓ mℓ\mathbf{m} \boldsymbol{\ell}mℓ égal à 0 , ± 1 , ± 2 , … , ± ℓ 0 , ± 1 , ± 2 , … , ± ℓ 0,+-1,+-2,dots,+-ℓ0, \pm 1, \pm 2, \ldots, \pm \ell0,±1,±2,…,±ℓ. Ce nombre représente les états énergétiques possibles dans une sous couche donnée (schématisés par des cases électroniques).

– Spin :

C’est un nombre demi-entier ne pouvant prendre que les valeurs + 1 2 + 1 2 +(1)/(2)+\frac{1}{2}+12 et − 1 2 − 1 2 -(1)/(2)-\frac{1}{2}−12. Dans ces conditions, le nombre maximum d’électrons d’une couche n n nnn est 2 n 2 2 n 2 2n^(2)2 n^{2}2n2 (Tableau I-1).
Couche K L M N
n 1 2 3 4
Sous couches s S p s p d S p d f
l 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3
n + ℓ ℓ ℓ\boldsymbol{\ell}ℓ 1 2 3 3 4 5 4 5 6 7
m ℓ m ℓ m_(ℓ)\mathbf{m}_{\ell}mℓ 0 0 0 ± 1 0 ± 1 {:[0],[+-1]:}\begin{gathered} 0 \\ \pm 1 \end{gathered}0±1 0 0 ± 1 ± 1 +-1\pm 1±1 0 ± 1 ± 1 +-1\pm 1±1 ± 2 ± 2 +-2\pm 2±2 0 0 ± 1 ± 1 +-1\pm 1±1 0 ± 1 ± 1 +-1\pm 1±1 ± 2 ± 2 +-2\pm 2±2 0 ± 1 ± 1 +-1\pm 1±1 ± 2 ± 2 +-2\pm 2±2 ± 3 ± 3 +-3\pm 3±3
Nombre d’états 1 1 3 1 3 5 1 3 5 7
Nombre d’électrons 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14
2 n 2 2 n 2 2n^(2)2 \mathrm{n}^{2}2n2 2 8 18 32
Couche K L M N n 1 2 3 4 Sous couches s S p s p d S p d f l 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 n + ℓ 1 2 3 3 4 5 4 5 6 7 m_(ℓ) 0 0 « 0 +-1 » 0 0 +-1 0 +-1 +-2 0 0 +-1 0 +-1 +-2 0 +-1 +-2 +-3 Nombre d’états 1 1 3 1 3 5 1 3 5 7 Nombre d’électrons 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2n^(2) 2 8 18 32 | Couche | K | L | | M | | | N | | | | | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | | n | 1 | 2 | | 3 | | | 4 | | | | | Sous couches | s | S | p | s | p | d | S | p | d | f | | l | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 3 | | n + $\boldsymbol{\ell}$ | 1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 4 | 5 | 6 | 7 | | $\mathbf{m}_{\ell}$ | 0 | 0 | $\begin{gathered} 0 \\ \pm 1 \end{gathered}$ | 0 | 0 $\pm 1$ | 0 $\pm 1$ $\pm 2$ | 0 | 0 $\pm 1$ | 0 $\pm 1$ $\pm 2$ | 0 $\pm 1$ $\pm 2$ $\pm 3$ | | Nombre d’états | 1 | 1 | 3 | 1 | 3 | 5 | 1 | 3 | 5 | 7 | | Nombre d’électrons | 2 | 2 | 6 | 2 | 6 | 10 | 2 | 6 | 10 | 14 | | $2 \mathrm{n}^{2}$ | 2 | 8 | | 18 | | | 32 | | | |
Tableau I-1 : Capacité maximale des couches électroniques
Un état énergétique (case électronique) dans une sous couche donnée peut être occupé au maximum par 2 électrons dont les spins sont antiparallèles (principe d’exclusion de Pauli). La règle de remplissage des couches électroniques se fait suivant les énergies croissantes (Figure I2). L’énergie d’un électron étant déterminée par les 2 nombres quantiques n n n\mathbf{n}n et ℓ ℓ ℓ\boldsymbol{\ell}ℓ, le remplissage des états se fait selon les valeurs croissantes de la somme n + ℓ n + ℓ n+ℓ\mathbf{n}+\boldsymbol{\ell}n+ℓ ( n n n\mathbf{n}n croissant pour une même valeur de ℓ ℓ ℓ\boldsymbol{\ell}ℓ ). De cette façon, l’ordre de remplissage des couches M M MMM ( n = 3 n = 3 n=3\mathbf{n}=3n=3 ) et N N NNN ( n = 4 n = 4 n=4\mathbf{n = 4}n=4 ) se fait dans le sens n + ℓ n + ℓ n+ℓ\mathbf{n}+\boldsymbol{\ell}n+ℓ :

Ordre de remplissage des sous couches :

Figure I-2 : Remplissage des sous couches électroniques.
Cette règle connue sous le nom de règle de Klechkowski connaît cependant un certain nombre d’anomalies.
Exemple : le remplissage de la couche 5d avant la couche 4f.
Il semblerait que les 3 éléments du groupe IV aient les mêmes propriétés électroniques du fait de la similitude de remplissage de leurs couches externes (Tableau I-2).
Elément chimique Carbone C C C\mathbf{C}C Silicium S i S i Si\mathbf{S i}Si Germanium Ge
Numéro atomique Z Z Z\mathbf{Z}Z 6 14 32
Structure électronique 1 s 2 2 s 2 2 p 2 1 s 2 2 s 2 2 p 2 1s^(2)2s^(2)2p^(2)1 \mathrm{~s}^{2} 2 \mathrm{~s}^{2} 2 \mathrm{p}^{2}1 s22 s22p2 1 s 2 2 s 2 2 p 6 3 s 2 3 p 2 1 s 2 2 s 2 2 p 6 3 s 2 3 p 2 1s^(2)2s^(2)2p^(6)3s^(2)3p^(2)1 \mathrm{~s}^{2} 2 \mathrm{~s}^{2} 2 \mathrm{p}^{6} 3 \mathrm{~s}^{2} 3 \mathrm{p}^{2}1 s22 s22p63 s23p2 1 s 2 2 s 2 2 p 6 3 s 2 3 p 6 4 s 2 4 p 2 1 s 2 2 s 2 2 p 6 3 s 2 3 p 6 4 s 2 4 p 2 1s^(2)2s^(2)2p^(6)3s^(2)3p^(6)4s^(2)4p^(2)1 \mathrm{~s}^{2} 2 \mathrm{~s}^{2} 2 \mathrm{p}^{6} 3 \mathrm{~s}^{2} 3 \mathrm{p}^{6} 4 \mathrm{~s}^{2} 4 \mathrm{p}^{2}1 s22 s22p63 s23p64 s24p2
Elément chimique Carbone C Silicium Si Germanium Ge Numéro atomique Z 6 14 32 Structure électronique 1s^(2)2s^(2)2p^(2) 1s^(2)2s^(2)2p^(6)3s^(2)3p^(2) 1s^(2)2s^(2)2p^(6)3s^(2)3p^(6)4s^(2)4p^(2)| Elément chimique | Carbone $\mathbf{C}$ | Silicium $\mathbf{S i}$ | Germanium Ge | | :— | :—: | :—: | :—: | | Numéro atomique $\mathbf{Z}$ | 6 | 14 | 32 | | Structure électronique | $1 \mathrm{~s}^{2} 2 \mathrm{~s}^{2} 2 \mathrm{p}^{2}$ | $1 \mathrm{~s}^{2} 2 \mathrm{~s}^{2} 2 \mathrm{p}^{6} 3 \mathrm{~s}^{2} 3 \mathrm{p}^{2}$ | $1 \mathrm{~s}^{2} 2 \mathrm{~s}^{2} 2 \mathrm{p}^{6} 3 \mathrm{~s}^{2} 3 \mathrm{p}^{6} 4 \mathrm{~s}^{2} 4 \mathrm{p}^{2}$ |
Tableau I-2 : Structure électronique des éléments du groupe IV
Or, il n’en est rien du fait que l’on a affaire à des solides (et non des atomes isolés) et que les structures cristallines ne sont pas identiques pour ces éléments.

II-2. La structure électronique d’un solide – Bandes d’énergie

La notion de bandes d’énergie des électrons d’un cristal peut être traitée en détail à l’aide de la mécanique quantique. Dans ce qui suit, nous allons modéliser le semiconducteur par des bandes d’énergie en adoptant une approche phénoménologique.
Considérons N atones isolés, par exemple de l’élément Si du groupe IV du tableau de Mendeleïev. Initialement, ces atomes sont très éloignés les uns des autres et sont sans interactions, leur distance interatomique d est très grande par rapport à l’environnement atomique r ( d >> 2 r d >> 2 r d>>2r\mathrm{d}>>2 \mathrm{r}d>>2r ). Dans ces conditions, ils sont caractérisés par des niveaux d’énergie discrets 1 s , 2 s , 2 p , … 1 s , 2 s , 2 p , … 1s,2s,2p,dots1 \mathrm{~s}, 2 \mathrm{~s}, 2 \mathrm{p}, \ldots1 s,2 s,2p,…, dont chacun est N fois dégénérés (Figure I-3).
Figure I-3 : Formation des bandes d’énergie du semiconducteur Si. ( d 0 d 0 d_(0)\mathrm{d}_{0}d0 distance réticulaire du cristal à l’équilibre)
Lorsqu’on rapproche par exemple 2 atomes l’un de l’autre, ces niveaux sont dédoublés en raison de l’interaction de leurs potentiels. De cette façon, le principe de Pauli est satisfait. Rapprochons maintenant les N atomes les uns des autres pour former le cristal. Dans ce cas, le transfert d’un électron d’un site à un autre site voisin devient possible par les interactions, ce qui a pour effet la levée de dégénérescence des niveaux atomiques.
Chaque niveau va devoir se scinder en N niveaux discrets constituant une bande d’énergie et chaque électron dans le cristal formé aura une énergie propre voisine de celle de départ (phénomène de dégénérescence). Pour les électrons des "couches internes" (profondes K et L pour le silicium), la perturbation produite par le rapprochement d’atomes (proximité d’atomes voisins) sera d’autant plus faible que la couche est plus proche du noyau. Ces électrons
restent en fait très liés à un atome particulier. La multiplication des niveaux correspondants s’effectuera dans une bande d’énergie très étroite. Par contre, pour les couches externes (de valence M pour le Si ) renfermant des électrons faiblement liés à un atome particulier, ce phénomène a lieu sur un intervalle d’énergie beaucoup plus large à tel point qu’il pourra se produire des recouvrements de bandes (niveaux 3 s et 3 p ). Dans ce cas, le caractère s et p se perd et il se forme à l’équilibre ( d = do < 2 r d = do < 2 r d=do < 2r\mathrm{d}=\mathrm{do}<2 \mathrm{r}d=do<2r ) des bandes d’énergie séparées.

Résumé I

La levée de dégénérescence des niveaux dans un matériau conduit à la formation des bandes d’énergie permises (quasi-continum) séparées par des bandes d’énergie interdites (Figure I-4):
  • Les bandes profondes inférieures sont relatives aux états entièrement peuplés par les électrons fortement liés à leur noyau (électrons du cœur).
  • L’avant dernière bande contient les états des électrons de valence : c’est la bande de valence (BV).
  • La dernière bande contient les états des électrons libres de conduction: c’est la bande de conduction (BC).
  • L’écart d’énergie entre le maximum de BV ( E v E v E_(v)\mathrm{E}_{\mathrm{v}}Ev ) et le minimum de BC ( E c ) BC E c BC(E_(c))\mathrm{BC}\left(\mathrm{E}_{\mathrm{c}}\right)BC(Ec) correspondant à des états non permis, représente la largeur de bande interdite (gap BI) : Eg g = E c − E v Eg g = E c − E v Eg_(g)=E_(c)-E_(v)\mathrm{Eg}_{\mathrm{g}}=\mathrm{E}_{\mathrm{c}}-\mathrm{E}_{\mathrm{v}}Egg=Ec−Ev.
La largeur Eg g Eg g Eg_(g)\mathrm{Eg}_{\mathrm{g}}Egg est liée directement à la distance interatomique d 0 d 0 d_(0)\mathrm{d}_{0}d0 : c’est l’énergie nécessaire pour rompre une liaison de valence et permettre à un électron de franchir le gap et de pouvoir se déplacer presque librement dans la BC.
Figure I-4: Diagramme des bandes d’énergie dans l’espace réel.
Exemples ( T = 300 K )
Semiconducteur Carbone C Silicium Si Germanium Ge
d o ( Å ) d o ( Å ) d_(o)(« Å »)\mathbf{d}_{\mathbf{o}}(\mathbf{\AA})do(Å) 1,54 2,35 2,44
E g ( e V ) E g ( e V ) E_(g)(eV)\mathbf{E}_{\mathbf{g}}(\mathbf{e V})Eg(eV) 5,3 1,10 0,72
Semiconducteur Carbone C Silicium Si Germanium Ge d_(o)(« Å ») 1,54 2,35 2,44 E_(g)(eV) 5,3 1,10 0,72| Semiconducteur | Carbone C | Silicium Si | Germanium Ge | | :—: | :—: | :—: | :—: | | $\mathbf{d}_{\mathbf{o}}(\mathbf{\AA})$ | 1,54 | 2,35 | 2,44 | | $\mathbf{E}_{\mathbf{g}}(\mathbf{e V})$ | 5,3 | 1,10 | 0,72 |

Remarques

(i) Un électron situé à une distance "infinie" du noyau possède une énergie nulle (électron libre). L’énergie est la plus négative quand l’électron occupe la couche la plus proche du noyau n = 1 n = 1 n=1n=1n=1.
(ii) Pour le Ge, la bande 1s (la plus proche du noyau) a une largeur de 10 − 3 eV 10 − 3 eV 10^(-3)eV10^{-3} \mathrm{eV}10−3eV. La B.V a une largeur de 10 eV . La BC est encore plus large, elle est de 20 eV . Les BV et BC sont séparées par une BI de largeur 0 , 72 eV 0 , 72 eV 0,72eV0,72 \mathrm{eV}0,72eV (à T = 300 K T = 300 K T=300K\mathrm{T}=300 \mathrm{~K}T=300 K ). L’écart énergétique entre la bande 1s et la BV est d’environ 1 , 1 × 10 4 eV 1 , 1 × 10 4 eV 1,1xx10^(4)eV1,1 \times 10^{4} \mathrm{eV}1,1×104eV.
(iii) Le phénomène de transport électronique concerne les porteurs de charges des bandes d’énergie les plus élevées. En effet, les bandes de basses énergies contiennent des électrons très liés à leur atome. Seuls des apports extérieurs d’énergie très élevée (rayon X par exemple) peuvent atteindre les couches internes.
Les bandes de basses énergies sont ainsi pleines si bien que le déplacement des électrons entre places vides soit impossible. Leur contribution à la conduction électrique est alors nulle.
(iv) Dans le cas du Si, les deux électrons 3s et les deux électrons 3p forment la BV qui compte alors 4 N électrons. Les 4 places vides du niveau 3 p se regroupent en une seule bande : la BC qui compte également 4 N places vides.

Résumé II

D’après l’analyse précédente, on peut traiter les états électroniques des porteurs de charges dans un matériau donné en le modélisant par des bandes d’énergie dont celles qui présentent un intérêt sont les deux dernières bandes: BV et BC. En particulier, pour l’étude du transport électronique dans les semiconducteurs, nous considérons uniquement ces deux dernières bandes.

III- Distinction entre métal – isolant – semiconducteur

A T = 0 K T = 0 K T=0K\mathrm{T}=0 \mathrm{~K}T=0 K, les derniers états occupés représentent un niveau caractéristique appelé "niveau de Fermi". L’énergie maximale correspondante est dite "énergie de Fermi E f E f E_(f)\mathrm{E}_{\mathrm{f}}Ef ". E f E f E_(f)\mathrm{E}_{\mathrm{f}}Ef est en fait le potentiel électrochimique du matériau E f = μ − e Φ E f = μ − e Φ E_(f)=mu-ePhi\mathrm{E}_{\mathrm{f}}=\mu-\mathrm{e} \PhiEf=μ−eΦ où μ μ mu\muμ est le potentiel chimique, Φ Φ Phi\PhiΦ est le potentiel électrostatique et e est la charge élémentaire ( e = 1 , 60217733 × 10 − 19 C e = 1 , 60217733 × 10 − 19 C e=1,60217733 xx10^(-19)C\mathrm{e}=1,60217733 \times 10^{-19} \mathrm{C}e=1,60217733×10−19C ). La position de E f E f E_(f)\mathrm{E}_{\mathrm{f}}Ef par rapport aux bandes BV et BC permet de préciser la nature électronique du matériau.

– Métal

Ef est situé dans BC (Figure I-5.a). − 10 − 10 ^(-10)^{-10}−10
La population des électrons libres dans la BC est disponible à la conduction.
Figure I-5.a : Diagramme des bandes d’énergie d’un métal.

– Isolant

Ef est situé en haut de la BV, la BC est entièrement vide (Figure I-5.b).
Eg est relativement grand ( 3 − 8 eV 3 − 8 eV 3-8eV3-8 \mathrm{eV}3−8eV ) si bien qu’à T ≠ 0 T ≠ 0 quadT!=0\quad \mathrm{T} \neq 0T≠0 K , les excitations ne permettent pas aux électrons de la BV de franchir le gap et occuper les états de la BC.
Figure I-5.b : Diagramme des bandes d’énergie d’un isolant.

– Semiconducteur

Il a la même configuration des bandes que l’isolant sauf que Eg g Eg g Eg_(g)\mathrm{Eg}_{\mathrm{g}}Egg a des valeurs relativement faibles ( 0 , 5 − 3 eV ) ( 0 , 5 − 3 eV ) (0,5-3eV)(0,5-3 \mathrm{eV})(0,5−3eV) de sorte que sous l’effet des excitations, certains électrons de BV peuvent atteindre les états de BC et contribuer à la conduction électronique (Figure I-5.c).
Figure I-5.c : Diagramme des bandes d’énergie d’un semiconducteur.

IV- La densité d’états dans l’espace réciproque IV-1. Les valeurs discrètes de k → k → vec(k)\overrightarrow{\boldsymbol{k}}k→. Espace réciproque

La dynamique des électrons dans un matériau est décrite par des fonctions d’onde Ψ ( r → , t ) Ψ ( r → , t ) Psi( vec(r),t)\Psi(\vec{r}, t)Ψ(r→,t) qui dépendent des variables spatiale r → r → vec(r)\vec{r}r→ et temporelle t t ttt. A ces fonctions sont associés des vecteurs d’onde k → k → vec(k)\vec{k}k→ qui traduisent les états énergétiques des électrons (états électroniques).
Considérons un cristal parfait de dimensions X = N x a , Y = N y b , Z = N Z c X = N x a , Y = N y b , Z = N Z c X=N_(x)a,Y=N_(y)b,Z=N_(Z)c\mathrm{X}=\mathrm{N}_{\mathrm{x}} \mathrm{a}, \mathrm{Y}=\mathrm{N}_{\mathrm{y}} \mathrm{b}, \mathrm{Z}=\mathrm{N}_{\mathrm{Z}} \mathrm{c}X=Nxa,Y=Nyb,Z=NZc (Figure I-6), où a , b a , b a,ba, ba,b et c sont les paramètres de son réseau direct RD , défini dans l’espace direct ( O , x , y , z O , x , y , z O,x,y,zO, x, y, zO,x,y,z ). Dans ce cristal, la fonction d’onde stationnaire Ψ ( r → ) Ψ ( r → ) Psi( vec(r))\Psi(\vec{r})Ψ(r→) des porteurs obéit aux conditions aux limites cycliques dites conditions de Born-Von-Karman:
Ψ ( r → + L l ) → = Ψ ( r → ) Ψ r → + L l → = Ψ ( r → ) Psi( vec(r)+ vec(L_(l)))=Psi(( vec(r))):}\Psi\left(\overrightarrow{\mathrm{r}}+\overrightarrow{\left.L_{l}\right)}=\Psi(\vec{r})\right.Ψ(r→+Ll)→=Ψ(r→)
avec L 1 → = N i a l → ; i = x L 1 → = N i a l → ; i = x vec(L_(1))=N_(i) vec(a_(l));i=x\overrightarrow{\mathrm{L}_{1}}=\mathrm{N}_{\mathrm{i}} \overrightarrow{a_{l}} ; \mathrm{i}=\mathrm{x}L1→=Nial→;i=x, y ou z
Figure I-6 : Un cristal semiconducteur.
et a l → = a → , b → a l → = a → , b → vec(a_(l))= vec(a), vec(b)\overrightarrow{a_{l}}=\vec{a}, \vec{b}al→=a→,b→ ou c → c → vec(c)\vec{c}c→ vecteurs du réseau du cristal.
En assimilant les électrons à des ondes planes, on aura comme solution stationnaire à cette condition :
Ψ ( r → ) = A e i k → ⋅ r → où A = constante. ⇒ A e i k → ⋅ ( r → + N i a l → ) = A e i k → ⋅ r → ⇒ e i k → ⋅ N i a l → = 1 ⇒ k → ⋅ a l → = 2 π p i N i Ψ ( r → ) = A e i k → ⋅ r →  où  A =  constante.  ⇒ A e i k → ⋅ r → + N i a l → = A e i k → ⋅ r → ⇒ e i k → ⋅ N i a l → = 1 ⇒ k → ⋅ a l → = 2 π p i N i {:[Psi( vec(r))=Ae^(i vec(k)* vec(r)) » où « A= » constante. « ],[=>Ae^(i vec(k)*(( vec(r))+N_(i) vec(a_(l))))=Ae^(i vec(k)* vec(r))quad=>quade^(i vec(k)*N_(i) vec(a_(l)))=1],[=> vec(k)* vec(a_(l))=2pi(p_(i))/(N_(i))]:}\begin{aligned} & \Psi(\vec{r})=\mathrm{A} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} \text { où } \mathrm{A}=\text { constante. } \\ & \Rightarrow \mathrm{A} e^{i \vec{k} \cdot\left(\vec{r}+N_{i} \overrightarrow{a_{l}}\right)}=\mathrm{A} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} \quad \Rightarrow \quad e^{i \vec{k} \cdot N_{i} \overrightarrow{a_{l}}}=1 \\ & \Rightarrow \vec{k} \cdot \overrightarrow{a_{l}}=2 \pi \frac{p_{i}}{N_{i}} \end{aligned}Ψ(r→)=Aeik→⋅r→ où A= constante. ⇒Aeik→⋅(r→+Nial→)=Aeik→⋅r→⇒eik→⋅Nial→=1⇒k→⋅al→=2πpiNi
d’où l’on déduit la structure du vecteur d’onde k → k → vec(k)\vec{k}k→ dont les composantes sont discrètes:
k → = ( 2 π a p x N x ; 2 π b p y N y ; 2 π c p z N z ) . k → = 2 π a p x N x ; 2 π b p y N y ; 2 π c p z N z . vec(k)=((2pi)/(a)(p_(x))/(N_(x));(2pi)/(b)(p_(y))/(N_(y));(2pi)/(c)(p_(z))/(N_(z))).\vec{k}=\left(\frac{2 \pi}{a} \frac{p_{x}}{N_{x}} ; \frac{2 \pi}{b} \frac{p_{y}}{N_{y}} ; \frac{2 \pi}{c} \frac{p_{z}}{N_{z}}\right) .k→=(2πapxNx;2πbpyNy;2πcpzNz).
L’ensemble des extrémités des vecteurs k → k → vec(k)\vec{k}k→ possibles forment un espace dit espace réciproque (espace des k → : ( O , k x , k y , k z ) k → : O , k x , k y , k z vec(k):(O,k_(x),k_(y),k_(z))\vec{k}:\left(\mathrm{O}, \mathrm{k}_{\mathrm{x}}, \mathrm{k}_{\mathrm{y}}, \mathrm{k}_{\mathrm{z}}\right)k→:(O,kx,ky,kz), dual de l’espace réel r → ) r → {:( vec(r)))\left.\vec{r}\right)r→). Si l’on désigne par a → ∗ a → ∗ vec(a)^(**)\vec{a}^{*}a→∗, b → ∗ b → ∗ vec(b)^(**)\vec{b}^{*}b→∗ et c → ∗ c → ∗ vec(c)^(**)\vec{c}^{*}c→∗ les vecteurs de base du réseau du cristal défini dans cet espace ("réseau réciproque RR"), un vecteur k → k → vec(k)\vec{k}k→ donné associé à la fonction d’onde Ψ k → ( r → ) Ψ k → ( r → ) Psi_( vec(k))( vec(r))\Psi_{\overrightarrow{\mathrm{k}}}(\vec{r})Ψk→(r→) s’écrit :
k → = p x N x a → ∗ + p y N y b → ∗ + p z N z c → ∗ k → = p x N x a → ∗ + p y N y b → ∗ + p z N z c → ∗ vec(k)=(p_(x))/(N_(x)) vec(a)^(**)+(p_(y))/(N_(y)) vec(b)^(**)+(p_(z))/(N_(z)) vec(c)^(**)\vec{k}=\frac{p_{x}}{N_{x}} \vec{a}^{*}+\frac{p_{y}}{N_{y}} \vec{b}^{*}+\frac{p_{z}}{N_{z}} \vec{c}^{*}k→=pxNxa→∗+pyNyb→∗+pzNzc→∗
Tenant compte de la relation obtenue précédemment, on peut écrire :
k → ⋅ a → l = a l → ⋅ ∑ i = 1 3 p i N i a → i ∗ = p i N i a → i ⋅ a → i ∗ + ∑ j ≠ i p j N j a → j ∗ ⋅ a → i = 2 π p i N i ⇒ a → i ⋅ a → i ∗ = 2 π et a → i ⋅ a → j ≠ i ∗ = 0 k → ⋅ a → l = a l → ⋅ ∑ i = 1 3   p i N i a → i ∗ = p i N i a → i ⋅ a → i ∗ + ∑ j ≠ i   p j N j a → j ∗ ⋅ a → i = 2 π p i N i ⇒ a → i ⋅ a → i ∗ = 2 π  et  a → i ⋅ a → j ≠ i ∗ = 0 {:[ vec(k)* vec(a)_(l)= vec(a_(l))*sum_(i=1)^(3)(p_(i))/(N_(i)) vec(a)_(i)^(**)=(p_(i))/(N_(i)) vec(a)_(i)* vec(a)_(i)^(**)+sum_(j!=i)(p_(j))/(N_(j)) vec(a)_(j)^(**)* vec(a)_(i)],[=2pi(p_(i))/(N_(i))=> vec(a)_(i)* vec(a)_(i)^(**)=2pi » et  » vec(a)_(i)* vec(a)_(j!=i)^(**)=0]:}\begin{aligned} \vec{k} \cdot \vec{a}_{l} & =\overrightarrow{a_{l}} \cdot \sum_{i=1}^{3} \frac{p_{i}}{N_{i}} \vec{a}_{i}^{*}=\frac{p_{i}}{N_{i}} \vec{a}_{i} \cdot \vec{a}_{i}^{*}+\sum_{j \neq \mathrm{i}} \frac{p_{j}}{N_{j}} \vec{a}_{j}^{*} \cdot \vec{a}_{i} \\ & =2 \pi \frac{p_{i}}{N_{i}} \Rightarrow \vec{a}_{i} \cdot \vec{a}_{i}^{*}=2 \pi \text { et } \vec{a}_{i} \cdot \vec{a}_{j \neq \mathrm{i}}^{*}=0 \end{aligned}k→⋅a→l=al→⋅∑i=13piNia→i∗=piNia→i⋅a→i∗+∑j≠ipjNja→j∗⋅a→i=2πpiNi⇒a→i⋅a→i∗=2π et a→i⋅a→j≠i∗=0
Ces résultats permettent d’écrire la relation entre les vecteurs de base des réseaux RD et RR :
  • Sous la forme condensée :
a → i ⋅ a → j ≠ i ∗ = 2 π δ i j ; δ i j = 0 ou 1 suivant que i ≠ j ou i = j a → i ⋅ a → j ≠ i ∗ = 2 π δ i j ; δ i j = 0  ou  1  suivant que  i ≠ j  ou  i = j vec(a)_(i)* vec(a)_(j!=i)^(**)=2pidelta_(ij);delta_(ij)=0″ ou « 1 » suivant que « i!=j » ou « i=j\vec{a}_{i} \cdot \vec{a}_{j \neq \mathrm{i}}^{*}=2 \pi \delta_{\mathrm{i} j} ; \delta_{\mathrm{i} j}=0 \text { ou } 1 \text { suivant que } \mathrm{i} \neq j \text { ou } \mathrm{i}=ja→i⋅a→j≠i∗=2πδij;δij=0 ou 1 suivant que i≠j ou i=j
  • Sous la forme explicite :
a → ∗ = 2 π b → ∧ c → a → ⋅ ( b → ∧ c → ) ; b → ∗ = 2 π c → ∧ a → a → ⋅ ( b → ∧ c → ) ; c → ∗ = 2 π a → ∧ b → a → ⋅ ( b → ∧ c → ) a → ∗ = 2 π b → ∧ c → a → ⋅ ( b → ∧ c → ) ; b → ∗ = 2 π c → ∧ a → a → ⋅ ( b → ∧ c → ) ; c → ∗ = 2 π a → ∧ b → a → ⋅ ( b → ∧ c → ) vec(a)^(**)=2pi(( vec(b))^^( vec(c)))/(( vec(a))*(( vec(b))^^( vec(c))))quad;quad vec(b)^(**)=2pi(( vec(c))^^( vec(a)))/(( vec(a))*(( vec(b))^^( vec(c))))quad;quad vec(c)^(**)=2pi(( vec(a))^^( vec(b)))/(( vec(a))*(( vec(b))^^( vec(c))))\vec{a}^{*}=2 \pi \frac{\vec{b} \wedge \vec{c}}{\vec{a} \cdot(\vec{b} \wedge \vec{c})} \quad ; \quad \vec{b}^{*}=2 \pi \frac{\vec{c} \wedge \vec{a}}{\vec{a} \cdot(\vec{b} \wedge \vec{c})} \quad ; \quad \vec{c}^{*}=2 \pi \frac{\vec{a} \wedge \vec{b}}{\vec{a} \cdot(\vec{b} \wedge \vec{c})}a→∗=2πb→∧c→a→⋅(b→∧c→);b→∗=2πc→∧a→a→⋅(b→∧c→);c→∗=2πa→∧b→a→⋅(b→∧c→)

IV-2. La densité d’états électroniques g ( k → ) g ( k → ) g( vec(k))\mathbf{g}(\vec{k})g(k→)

Les valeurs discrètes de k → k → vec(k)\vec{k}k→ nous permettent de définir dans l’espace réciproque la densité d’états électroniques g ( k → ) g ( k → ) g( vec(k))\mathrm{g}(\vec{k})g(k→). En effet, à tout état k → k → vec(k)\vec{k}k→ correspond un volume v k → ∗ v k → ∗ v_( vec(k))^(**)v_{\vec{k}}^{*}vk→∗ construit sur les vecteurs k → k → vec(k)\vec{k}k→ les plus petits :
k 1 → = 1 N x a → ∗ , ( p x = 1 , py y = p z = 0 ) ; k 2 → = 1 N y b → ∗ , ( p x = 0 , py y = 1 , p z = 0 ) ; k 3 → = 1 N z c → ∗ , ( p x = p y = 0 , p z = 1 ) , k 1 → = 1 N x a → ∗ , p x = 1 , py y = p z = 0 ; k 2 → = 1 N y b → ∗ , p x = 0 , py y = 1 , p z = 0 ; k 3 → = 1 N z c → ∗ , p x = p y = 0 , p z = 1 , vec(k_(1))=(1)/(N_(x)) vec(a)^(**),(p_(x)=1,py_(y)=p_(z)=0); vec(k_(2))=(1)/(N_(y)) vec(b)^(**),(p_(x)=0,py_(y)=1,p_(z)=0); vec(k_(3))=(1)/(N_(z)) vec(c)^(**),(p_(x)=p_(y)=0,p_(z)=1),\overrightarrow{k_{1}}=\frac{1}{N_{x}} \vec{a}^{*},\left(\mathrm{p}_{\mathrm{x}}=1, \mathrm{py}_{\mathrm{y}}=\mathrm{p}_{\mathrm{z}}=0\right) ; \overrightarrow{k_{2}}=\frac{1}{N_{y}} \vec{b}^{*},\left(\mathrm{p}_{\mathrm{x}}=0, \mathrm{py}_{\mathrm{y}}=1, \mathrm{p}_{\mathrm{z}}=0\right) ; \overrightarrow{k_{3}}=\frac{1}{N_{z}} \vec{c}^{*},\left(\mathrm{p}_{\mathrm{x}}=\mathrm{p}_{\mathrm{y}}=0, \mathrm{p}_{\mathrm{z}}=1\right),k1→=1Nxa→∗,(px=1,pyy=pz=0);k2→=1Nyb→∗,(px=0,pyy=1,pz=0);k3→=1Nzc→∗,(px=py=0,pz=1),
Soit
v k → ∗ = k 1 → ⋅ ( k 2 → ∧ k 3 → ) = 1 N x N y N z a → ∗ ⋅ ( b → ∗ ∧ c → ∗ ) = ( 2 π ) 3 N x N y N z ( b → ∧ c → ) ⋅ [ ( c → ∧ a → ) ∧ ( a → ∧ b → ) ] [ a → ⋅ ( b → ∧ c → ) ] 3 = ( 2 π ) 3 N x N y N z ( b → ∧ c → ) ⋅ [ ( ( c → ∧ a → ) ⋅ b → ) a → − ( ( c → ∧ a → ) ⋅ a → ) b → ] v 3 = ( 2 π ) 3 N x N y N z v 2 v 3 = 1 N x N y N z ( 2 π ) 3 v = ( 2 π ) 3 v v k → ∗ = k 1 → ⋅ k 2 → ∧ k 3 → = 1 N x N y N z a → ∗ ⋅ b → ∗ ∧ c → ∗ = ( 2 π ) 3 N x N y N z ( b → ∧ c → ) ⋅ [ ( c → ∧ a → ) ∧ ( a → ∧ b → ) ] [ a → ⋅ ( b → ∧ c → ) ] 3 = ( 2 π ) 3 N x N y N z ( b → ∧ c → ) ⋅ [ ( ( c → ∧ a → ) ⋅ b → ) a → − ( ( c → ∧ a → ) ⋅ a → ) b → ] v 3 = ( 2 π ) 3 N x N y N z v 2 v 3 = 1 N x N y N z ( 2 π ) 3 v = ( 2 π ) 3 v {:[v_( vec(k))^(**)= vec(k_(1))*( vec(k_(2))^^ vec(k_(3)))=(1)/(N_(x)N_(y)N_(z)) vec(a)^(**)*( vec(b)^(**)^^ vec(c)^(**))=((2pi)^(3))/(N_(x)N_(y)N_(z))((( vec(b))^^( vec(c)))*[(( vec(c))^^( vec(a)))^^(( vec(a))^^( vec(b)))])/([( vec(a))*(( vec(b))^^( vec(c)))]^(3))],[=((2pi)^(3))/(N_(x)N_(y)N_(z))((( vec(b))^^( vec(c)))*[((( vec(c))^^( vec(a)))*( vec(b)))( vec(a))-((( vec(c))^^( vec(a)))*( vec(a)))( vec(b))])/(v^(3))=((2pi)^(3))/(N_(x)N_(y)N_(z))(v^(2))/(v^(3))],[=(1)/(N_(x)N_(y)N_(z))((2pi)^(3))/(v)=((2pi)^(3))/(v)]:}\begin{aligned} v_{\vec{k}}^{*} & =\overrightarrow{k_{1}} \cdot\left(\overrightarrow{k_{2}} \wedge \overrightarrow{k_{3}}\right)=\frac{1}{N_{x} N_{y} N_{z}} \vec{a}^{*} \cdot\left(\vec{b}^{*} \wedge \vec{c}^{*}\right)=\frac{(2 \pi)^{3}}{N_{x} N_{y} N_{z}} \frac{(\vec{b} \wedge \vec{c}) \cdot[(\vec{c} \wedge \vec{a}) \wedge(\vec{a} \wedge \vec{b})]}{[\vec{a} \cdot(\vec{b} \wedge \vec{c})]^{3}} \\ & =\frac{(2 \pi)^{3}}{N_{x} N_{y} N_{z}} \frac{(\vec{b} \wedge \vec{c}) \cdot[((\vec{c} \wedge \vec{a}) \cdot \vec{b}) \vec{a}-((\vec{c} \wedge \vec{a}) \cdot \vec{a}) \vec{b}]}{v^{3}}=\frac{(2 \pi)^{3}}{N_{x} N_{y} N_{z}} \frac{v^{2}}{v^{3}} \\ & =\frac{1}{N_{x} N_{y} N_{z}} \frac{(2 \pi)^{3}}{v}=\frac{(2 \pi)^{3}}{v} \end{aligned}vk→∗=k1→⋅(k2→∧k3→)=1NxNyNza→∗⋅(b→∗∧c→∗)=(2π)3NxNyNz(b→∧c→)⋅[(c→∧a→)∧(a→∧b→)][a→⋅(b→∧c→)]3=(2π)3NxNyNz(b→∧c→)⋅[((c→∧a→)⋅b→)a→−((c→∧a→)⋅a→)b→]v3=(2π)3NxNyNzv2v3=1NxNyNz(2π)3v=(2π)3v
avec v = a → . ( b → ∧ c → ) v = a → . ( b → ∧ c → ) v= vec(a).( vec(b)^^ vec(c))\mathrm{v}=\overrightarrow{\mathrm{a}} .(\overrightarrow{\mathrm{b}} \wedge \overrightarrow{\mathrm{c}})v=a→.(b→∧c→) est le volume de la maille élémentaire du réseau du cristal et V = N x N y N z V V = N x N y N z V V=N_(x)N_(y)N_(z)VV=N_{x} N_{y} N_{z} VV=NxNyNzV est le volume du cristal.
Soit v k → ∗ = ( 2 π ) 3 V v k → ∗ = ( 2 π ) 3 V quadv_( vec(k))^(**)=((2pi)^(3))/((V))\quad v_{\vec{k}}^{*}=\frac{(2 \pi)^{3}}{\mathrm{~V}}vk→∗=(2π)3 V
D’où l’on peut définir la densité des états électroniques dans l’espace réciproque par :
g ( k → ) = 1 v k → ∗ = v ( 2 π ) 3 g ( k → ) = 1 v k → ∗ = v ( 2 π ) 3 g( vec(k))=(1)/(v_( vec(k))^(**))=(v)/((2pi)^(3))g(\vec{k})=\frac{1}{v_{\vec{k}}^{*}}=\frac{v}{(2 \pi)^{3}}g(k→)=1vk→∗=v(2π)3
En tenant compte de la dégénérescence de spin (pour chaque état, il y’a deux possibilités de spin ± 1 2 ± 1 2 +-(1)/(2)\pm \frac{1}{2}±12 ), la densité des états est en fait donnée par:
g ( k → ) = 2 V ( 2 π ) 3 g ( k → ) = 2 V ( 2 π ) 3 g( vec(k))=(2V)/((2pi)^(3))g(\vec{k})=\frac{2 V}{(2 \pi)^{3}}g(k→)=2V(2π)3

V- La loi de dispersion de l’énergie au voisinage de ses extrémums

V-1. Loi de dispersion E ( k → ) E ( k → ) E( vec(k))\mathbf{E}(\vec{k})E(k→)

Dans l’espace réciproque, la surface iso-énergie ( E ( k → ) = ( E ( k → ) = (E( vec(k))=(\mathrm{E}(\vec{k})=(E(k→)= constante) a en général une forme quelconque. Elle comporte des extremums (des maximums et des minimums). Au voisinage d’un extrémum k → o k → o vec(k)_(o)\vec{k}_{o}k→o, la loi de dispersion en énergie E ( k → ) E ( k → ) E( vec(k))\mathrm{E}(\vec{k})E(k→) peut s’écrire :
Dans cette série et au voisinage de k → o k → o vec(k)_(o)\vec{k}_{o}k→o, les termes en ( k → − k → o ) q ≥ 3 k → − k → o q ≥ 3 (( vec(k))- vec(k)_(o))^(q >= 3)\left(\vec{k}-\vec{k}_{o}\right)^{\mathrm{q} \geq 3}(k→−k→o)q≥3 sont négligés.
Dans la partie quadratique de cette relation, les termes ∇ → k → 2 E ( k → ) ∇ → k → 2 E ( k → ) vec(grad)_( vec(k))^(2)E( vec(k))\vec{\nabla}_{\overrightarrow{\mathrm{k}}}{ }^{2} E(\vec{k})∇→k→2E(k→) et ( k → − k → o ) 2 k → − k → o 2 (( vec(k))- vec(k)_(o))^(2)\left(\vec{k}-\vec{k}_{o}\right)^{2}(k→−k→o)2 sont représentés par des tenseurs à 9 composantes:
( ∂ 2 E ( k → ) ∂ k x 2 ∂ 2 E ( k → ) ∂ k x k y ∂ 2 E ( k → ) ∂ k x k z ∂ 2 E ( k → ) ∂ k y k x ∂ 2 E ( k → ) ∂ k y 2 ∂ 2 E ( k → ) ∂ k y k z ∂ 2 E ( k → ) ∂ k z k x ∂ 2 E ( k → ) ∂ k z k y ∂ 2 E ( k → ) ∂ k z 2 ) ∂ 2 E ( k → ) ∂ k x 2 ∂ 2 E ( k → ) ∂ k x k y ∂ 2 E ( k → ) ∂ k x k z ∂ 2 E ( k → ) ∂ k y k x ∂ 2 E ( k → ) ∂ k y 2 ∂ 2 E ( k → ) ∂ k y k z ∂ 2 E ( k → ) ∂ k z k x ∂ 2 E ( k → ) ∂ k z k y ∂ 2 E ( k → ) ∂ k z 2 ([(del^(2)E(( vec(k))))/(delk_(x)^(2)),(del^(2)E(( vec(k))))/(delk_(x)k_(y)),(del^(2)E(( vec(k))))/(delk_(x)k_(z))],[(del^(2)E(( vec(k))))/(delk_(y)k_(x)),(del^(2)E(( vec(k))))/(delk_(y)^(2)),(del^(2)E(( vec(k))))/(delk_(y)k_(z))],[(del^(2)E(( vec(k))))/(delk_(z)k_(x)),(del^(2)E(( vec(k))))/(delk_(z)k_(y)),(del^(2)E(( vec(k))))/(delk_(z)^(2))])\left(\begin{array}{lll} \frac{\partial^{2} E(\vec{k})}{\partial k_{x}{ }^{2}} & \frac{\partial^{2} E(\vec{k})}{\partial k_{x} k_{y}} & \frac{\partial^{2} E(\vec{k})}{\partial k_{x} k_{z}} \\ \frac{\partial^{2} E(\vec{k})}{\partial k_{y} k_{x}} & \frac{\partial^{2} E(\vec{k})}{\partial k_{y}{ }^{2}} & \frac{\partial^{2} E(\vec{k})}{\partial k_{y} k_{z}} \\ \frac{\partial^{2} E(\vec{k})}{\partial k_{z} k_{x}} & \frac{\partial^{2} E(\vec{k})}{\partial k_{z} k_{y}} & \frac{\partial^{2} E(\vec{k})}{\partial k_{z}{ }^{2}} \end{array}\right)(∂2E(k→)∂kx2∂2E(k→)∂kxky∂2E(k→)∂kxkz∂2E(k→)∂kykx∂2E(k→)∂ky2∂2E(k→)∂kykz∂2E(k→)∂kzkx∂2E(k→)∂kzky∂2E(k→)∂kz2)
et ( ( k x − k o x ) 2 ( k x − k o x ) ( k y − k o y ) ( k x − k o x ) ( k z − k o z ) ( k y − k o y ) ( k x − k o x ) ( k y − k o y ) 2 ( k y − k o y ) ( k z − k o z ) ( k z − k o z ) ( k x − k o x ) ( k z − k o z ) ( k y − k o y ) ( k z − k o z ) 2 ) k x − k o x 2 k x − k o x k y − k o y k x − k o x k z − k o z k y − k o y k x − k o x k y − k o y 2 k y − k o y k z − k o z k z − k o z k x − k o x k z − k o z k y − k o y k z − k o z 2 quad([(k_(x)-k_(o_(x)))^(2),(k_(x)-k_(o_(x)))(k_(y)-k_(o_(y))),(k_(x)-k_(o_(x)))(k_(z)-k_(o_(z)))],[(k_(y)-k_(o_(y)))(k_(x)-k_(o_(x))),(k_(y)-k_(o_(y)))^(2),(k_(y)-k_(o_(y)))(k_(z)-k_(o_(z)))],[(k_(z)-k_(o_(z)))(k_(x)-k_(o_(x))),(k_(z)-k_(o_(z)))(k_(y)-k_(o_(y))),(k_(z)-k_(o_(z)))^(2)])\quad\left(\begin{array}{ccc}\left(k_{x}-k_{o_{x}}\right)^{2} & \left(k_{x}-k_{o_{x}}\right)\left(k_{y}-k_{o_{y}}\right) & \left(k_{x}-k_{o_{x}}\right)\left(k_{z}-k_{o_{z}}\right) \\ \left(k_{y}-k_{o_{y}}\right)\left(k_{x}-k_{o_{x}}\right) & \left(k_{y}-k_{o_{y}}\right)^{2} & \left(k_{y}-k_{o_{y}}\right)\left(k_{z}-k_{o_{z}}\right) \\ \left(k_{z}-k_{o_{z}}\right)\left(k_{x}-k_{o_{x}}\right) & \left(k_{z}-k_{o_{z}}\right)\left(k_{y}-k_{o_{y}}\right) & \left(k_{z}-k_{o_{z}}\right)^{2}\end{array}\right)((kx−kox)2(kx−kox)(ky−koy)(kx−kox)(kz−koz)(ky−koy)(kx−kox)(ky−koy)2(ky−koy)(kz−koz)(kz−koz)(kx−kox)(kz−koz)(ky−koy)(kz−koz)2)
Le produit de ces deux quantités est réalisé en effectuant la somme des différents produits ligne par ligne:
E ( k → ) = E ( k o → ) + 1 2 ∑ i , j ∂ 2 E ( k → ) ∂ k i k j ( k i − k o i ) ( k j − k o j ) = E ( k o → ) + ℏ 2 2 ∑ i , j 1 ℏ 2 ∂ 2 E ( k → ) ∂ k i k j ( k i − k o i ) ( k j − k o j ) = E ( k o → ) + ∑ i , j ℏ 2 2 m i j ∗ ( k i − k o i ) ( k j − k o j ) E ( k → ) = E k o → + 1 2 ∑ i , j   ∂ 2 E ( k → ) ∂ k i k j k i − k o i k j − k o j = E k o → + ℏ 2 2 ∑ i , j   1 ℏ 2 ∂ 2 E ( k → ) ∂ k i k j k i − k o i k j − k o j = E k o → + ∑ i , j   ℏ 2 2 m i j ∗ k i − k o i k j − k o j {:[E( vec(k))=E( vec(k_(o)))+(1)/(2)sum_(i,j)(del^(2)E(( vec(k))))/(delk_(i)k_(j))(k_(i)-k_(o_(i)))(k_(j)-k_(o_(j)))],[=E( vec(k_(o)))+(ℏ^(2))/(2)sum_(i,j)(1)/(ℏ^(2))(del^(2)E(( vec(k))))/(delk_(i)k_(j))(k_(i)-k_(o_(i)))(k_(j)-k_(o_(j)))],[=E( vec(k_(o)))+sum_(i,j)(ℏ^(2))/(2m_(ij)^(**))(k_(i)-k_(o_(i)))(k_(j)-k_(o_(j)))]:}\begin{aligned} \mathrm{E}(\vec{k}) & =\mathrm{E}\left(\overrightarrow{k_{o}}\right)+\frac{1}{2} \sum_{i, j} \frac{\partial^{2} E(\vec{k})}{\partial k_{i} k_{j}}\left(k_{i}-k_{o_{i}}\right)\left(k_{j}-k_{o_{j}}\right) \\ & =\mathrm{E}\left(\overrightarrow{k_{o}}\right)+\frac{\hbar^{2}}{2} \sum_{i, j} \frac{1}{\hbar^{2}} \frac{\partial^{2} E(\vec{k})}{\partial k_{i} k_{j}}\left(k_{i}-k_{o_{i}}\right)\left(k_{j}-k_{o_{j}}\right) \\ & =\mathrm{E}\left(\overrightarrow{k_{o}}\right)+\sum_{i, j} \frac{\hbar^{2}}{2 m_{i j}^{*}}\left(k_{i}-k_{o_{i}}\right)\left(k_{j}-k_{o_{j}}\right) \end{aligned}E(k→)=E(ko→)+12∑i,j∂2E(k→)∂kikj(ki−koi)(kj−koj)=E(ko→)+ℏ22∑i,j1ℏ2∂2E(k→)∂kikj(ki−koi)(kj−koj)=E(ko→)+∑i,jℏ22mij∗(ki−koi)(kj−koj)
où ℏ = h 2 π ℏ = h 2 π ℏ=(h)/(2pi)\hbar=\frac{h}{2 \pi}ℏ=h2π avec h constante de Planck ( h = 6 , 626 × 10 − 34 J . s h = 6 , 626 × 10 − 34 J . s h=6,626 xx10^(-34)J.s\mathrm{h}=6,626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} . \mathrm{s}h=6,626×10−34 J.s ).
m i j ∗ = ℏ 2 ∂ 2 E ( k → ) ∂ k i k j est la masse effective des porteurs de charges au cours de leurs mouvements m i j ∗ = ℏ 2 ∂ 2 E ( k → ) ∂ k i k j  est la masse effective des porteurs de charges au cours de leurs mouvements  m_(ij)^(**)=(ℏ^(2))/((del^(2)E(( vec(k))))/(delk_(i)k_(j))) » est la masse effective des porteurs de charges au cours de leurs mouvements « m_{i j}^{*}=\frac{\hbar^{2}}{\frac{\partial^{2} E(\vec{k})}{\partial k_{i} k_{j}}} \text { est la masse effective des porteurs de charges au cours de leurs mouvements }mij∗=ℏ2∂2E(k→)∂kikj est la masse effective des porteurs de charges au cours de leurs mouvements 
suivant la direction ( O , k i , k j O , k i , k j O,k_(i),k_(j)\mathrm{O}, \mathrm{k}_{\mathrm{i}}, \mathrm{k}_{\mathrm{j}}O,ki,kj ). C’est la masse des porteurs subissant l’effet du potentiel cristallin (grandeur énergétique traduisant les interactions globales entre les différentes particules du cristal). Elle est équivalente à la masse de l’électron au cours de son mouvement et est ainsi différente de sa masse lorsqu’il est libre m 0 m 0 m_(0)\mathrm{m}_{0}m0 (masse de l’électron libre m 0 = 9 , 1093897 × 10 − 31 Kg m 0 = 9 , 1093897 × 10 − 31 Kg m_(0)=9,1093897 xx10^(-31)Kg\mathrm{m}_{0}=9,1093897 \times 10^{-31} \mathrm{Kg}m0=9,1093897×10−31Kg ).
Dans le cas des semiconducteurs présentant une symétrie spatiale élevée telle que la symétrie cubique (en particulier la base ( a → ∗ , b → ∗ , c → ∗ a → ∗ , b → ∗ , c → ∗ vec(a)^(**), vec(b)^(**), vec(c)^(**)\vec{a}^{*}, \vec{b}^{*}, \vec{c}^{*}a→∗,b→∗,c→∗ ) de l’espace réciproque est orthogonale), les termes croisés en i ≠ j i ≠ j i!=j\mathrm{i} \neq \mathrm{j}i≠j sont tous nuls. E ( k → ) E ( k → ) E( vec(k))\mathrm{E}(\vec{k})E(k→) se réduit dans ce cas à :
E ( k → ) = E ( k → o ) + ℏ 2 2 [ ( k x − k o x ) 2 m x x ∗ + ( k y − k o y ) 2 m y y ∗ + ( k z − k o z ) 2 m z z ∗ ] E ( k → ) = E k → o + ℏ 2 2 k x − k o x 2 m x x ∗ + k y − k o y 2 m y y ∗ + k z − k o z 2 m z z ∗ E( vec(k))=E( vec(k)_(o))+(ℏ^(2))/(2)[((k_(x)-k_(o_(x)))^(2))/(m_(xx)^(**))+((k_(y)-k_(oy))^(2))/(m_(yy)^(**))+((k_(z)-k_(o_(z)))^(2))/(m_(zz)^(**))]\mathrm{E}(\vec{k})=\mathrm{E}\left(\vec{k}_{o}\right)+\frac{\hbar^{2}}{2}\left[\frac{\left(k_{x}-k_{o_{x}}\right)^{2}}{m_{x x}^{*}}+\frac{\left(k_{y}-k_{o y}\right)^{2}}{m_{y y}^{*}}+\frac{\left(k_{z}-k_{o_{z}}\right)^{2}}{m_{z z}^{*}}\right]E(k→)=E(k→o)+ℏ22[(kx−kox)2mxx∗+(ky−koy)2myy∗+(kz−koz)2mzz∗]

V-2. Nature énergétique d’un semiconducteur

V-2-1. Semiconducteur multivallée

Si k → o ≠ 0 k → o ≠ 0 vec(k)_(o)!=0\vec{k}_{o} \neq 0k→o≠0, par exemple sur l’axe ( O , k → x O , k → x O, vec(k)_(x)\mathrm{O}, \vec{k}_{x}O,k→x ), la masse effective des électrons dont le mouvement est suivant une direction parallèle à k → o k → o vec(k)_(o)\vec{k}_{o}k→o est dite longitudinale m x x ∗ = m ℓ ∗ m x x ∗ = m ℓ ∗ m_(xx)^(**)=m_(ℓ)^(**)m_{x x}^{*}=m_{\ell}^{*}mxx∗=mℓ∗. En
l’occurrence, lorsque le mouvement s’effectue dans une direction perpendiculaire à k → o k → o vec(k)_(o)\vec{k}_{o}k→o, elle est dite transversale m y y ∗ = m z z ∗ = m t ∗ m y y ∗ = m z z ∗ = m t ∗ m_(yy)^(**)=m_(zz)^(**)=m_(t)^(**)m_{y y}^{*}=m_{z z}^{*}=m_{t}^{*}myy∗=mzz∗=mt∗ (mouvement isotrope dans toute direction du plan perpendiculaire à k → o k → o vec(k)_(o)\vec{k}_{o}k→o ). Dans ces conditions, la loi de dispersion est donnée par:
E ( k → ) = E ( k → o ) + ℏ 2 2 [ ( k x − k o x ) 2 m ℓ ∗ + k y 2 + k z 2 m t ∗ ] E ( k → ) = E k → o + ℏ 2 2 k x − k o x 2 m ℓ ∗ + k y 2 + k z 2 m t ∗ E( vec(k))=E( vec(k)_(o))+(ℏ^(2))/(2)[((k_(x)-k_(o_(x)))^(2))/(m_(ℓ)^(**))+(k_(y)^(2)+k_(z)^(2))/(m_(t)^(**))]\mathrm{E}(\vec{k})=\mathrm{E}\left(\vec{k}_{o}\right)+\frac{\hbar^{2}}{2}\left[\frac{\left(k_{x}-k_{o_{x}}\right)^{2}}{m_{\ell}^{*}}+\frac{k_{y}{ }^{2}+k_{z}{ }^{2}}{m_{t}^{*}}\right]E(k→)=E(k→o)+ℏ22[(kx−kox)2mℓ∗+ky2+kz2mt∗]
qu’on peut encore écrire sous la forme:
( k x − k o x ) 2 a 2 + k y 2 b 2 + k z 2 c 2 = 1 k x − k o x 2 a 2 + k y 2 b 2 + k z 2 c 2 = 1 ((k_(x)-k_(o_(x)))^(2))/(a^(2))+(k_(y)^(2))/(b^(2))+(k_(z)^(2))/(c^(2))=1\frac{\left(k_{x}-k_{o_{x}}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{k_{y}{ }^{2}}{b^{2}}+\frac{k_{z}{ }^{2}}{c^{2}}=1(kx−kox)2a2+ky2b2+kz2c2=1
avec a = 2 m ℓ ∗ ℏ 2 [ E ( k → ) − E ( k → o ) ] a = 2 m ℓ ∗ ℏ 2 E ( k → ) − E k → o a=sqrt((2m_(ℓ)^(**))/(ℏ^(2))[E(( vec(k)))-E( vec(k)_(o))])quada=\sqrt{\frac{2 m_{\ell}^{*}}{\hbar^{2}}\left[E(\vec{k})-E\left(\vec{k}_{o}\right)\right]} \quada=2mℓ∗ℏ2[E(k→)−E(k→o)] et b = c = 2 m t ∗ ℏ 2 [ E ( k → ) − E ( k → o ) ] b = c = 2 m t ∗ ℏ 2 E ( k → ) − E k → o quad b=c=sqrt((2m_(t)^(**))/(ℏ^(2))[E(( vec(k)))-E( vec(k)_(o))])\quad b=c=\sqrt{\frac{2 m_{t}^{*}}{\hbar^{2}}\left[E(\vec{k})-E\left(\vec{k}_{o}\right)\right]}b=c=2mt∗ℏ2[E(k→)−E(k→o)]
Cette équation implique que la forme des surfaces iso-énergie ( E ( k → ) = ( E ( k → ) = (E( vec(k))=(\mathrm{E}(\vec{k})=(E(k→)= constante) est un ellipsoïde de centre en k → o k → o vec(k)_(o)\vec{k}_{o}k→o, cette surface est appelée vallée ellipsoïde.
D’après la symétrie, on peut avoir plusieurs extremums ( ± k o x , ± k o y , ± k o z ± k o x , ± k o y , ± k o z +-k_(o_(x)),+-k_(o_(y)),+-k_(o_(z))\pm k_{o_{x}}, \pm k_{o_{y}}, \pm k_{o_{z}}±kox,±koy,±koz ) centres de vallées ellipsoïdales. Le semiconducteur est dit dans ce cas "multivallée". C’est le cas, par exemple, du semiconducteur Si dont la structure cubique donne lieu à 6 ellipsoïdes de centres ( 0 , ± k o x ) , ( 0 , ± k o y ) ± k o x , 0 , ± k o y {:+-k_(o_(x))),(0,+-k_(o_(y)))\left.\pm k_{o_{x}}\right),\left(0, \pm k_{o_{y}}\right)±kox),(0,±koy) et ( 0 , ± k o z ) 0 , ± k o z (0,+-k_(o_(z)))\left(0, \pm k_{o_{z}}\right)(0,±koz) (Figure I-7).
Figure I-7 : Représentation des surfaces iso-énergie dans le cas du Si.

V-2-2. Semiconducteur univallée

Dans le cas où le vecteur k → o = 0 → k → o = 0 → vec(k)_(o)= vec(0)\vec{k}_{o}=\overrightarrow{0}k→o=0→, l’extremum est unique. Dans ces conditions, on aura:
m ℓ ∗ = m t ∗ = m c ∗ et E ( k → ) = E ( k → o ) + ℏ 2 k 2 2 m c ∗ m ℓ ∗ = m t ∗ = m c ∗  et  E ( k → ) = E k → o + ℏ 2 k 2 2 m c ∗ m_(ℓ)^(**)=m_(t)^(**)=m_(c)^(**) » et « E( vec(k))=E( vec(k)_(o))+(ℏ^(2)k^(2))/(2m_(c)^(**))m_{\ell}^{*}=m_{t}^{*}=m_{c}^{*} \text { et } \mathrm{E}(\vec{k})=\mathrm{E}\left(\vec{k}_{o}\right)+\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m_{c}^{*}}mℓ∗=mt∗=mc∗ et E(k→)=E(k→o)+ℏ2k22mc∗
La surface iso-énergie ( E ( k → ) = ( E ( k → ) = (E( vec(k))=(\mathrm{E}(\vec{k})=(E(k→)= constante ) ) ))) est donc une sphère unique de centre O et de rayon :
k = 2 m c ∗ [ E ( k → ) − E ( k → o ) ] ℏ 2 k = 2 m c ∗ E ( k → ) − E k → o ℏ 2 k=sqrt((2m_(c)^(**)[E(( vec(k)))-E( vec(k)_(o))])/(ℏ^(2)))\mathrm{k}=\sqrt{\frac{2 m_{c}^{*}\left[\mathrm{E}(\vec{k})-E\left(\vec{k}_{o}\right)\right]}{\hbar^{2}}}k=2mc∗[E(k→)−E(k→o)]ℏ2
On a ainsi une seule vallée et le semiconducteur est dit univallée, tel est le cas du GaAs.

VI- Densité d’états électroniques en énergie N ( E ) N ( E ) N(E)\mathcal{N}(\mathbf{E})N(E)
VI-1. Définition

Si l’on désigne la densité d’états électroniques en énergie par N ( E ) N ( E ) N(E)\mathcal{N}(\mathrm{E})N(E), le nombre d’états permis d’énergie comprise entre E et E + dE E + dE E+dE\mathrm{E}+\mathrm{dE}E+dE sera donné par N N N\mathcal{N}N (E) dE. Ce nombre correspond exactement au nombre d’états de vecteurs d’onde k → k → vec(k)\vec{k}k→ compris entre les surfaces iso-énergie de rayons vecteurs k → k → vec(k)\vec{k}k→ et k → + d k → k → + d k → vec(k)+d vec(k)\vec{k}+d \vec{k}k→+dk→ (Figure I-8): ∫ g ( k → ) d 3 k → ∫ g ( k → ) d 3 k → intg( vec(k))d^(3) vec(k)\int \mathrm{g}(\vec{k}) d^{3} \vec{k}∫g(k→)d3k→.
⇒ N ( E ) dE = ∫ g ( k → ) d 3 k → = g ( k → ) ∫ d 3 k → N ( E ) = g ( k → ) ∫ d → 3 k dE = g ( k → ) ∫ d s → k → ⋅ d k → dE ⇒ N ( E ) dE = ∫ g ( k → ) d 3 k → = g ( k → ) ∫ d 3 k → N ( E ) = g ( k → ) ∫ d → 3 k dE = g ( k → ) ∫ d s → k → ⋅ d k → dE {:[=>N(E)dE=intg( vec(k)) vec(d^(3)k)=g( vec(k))int vec(d^(3)k)],[N(E)=g( vec(k))(int vec(d)^(3)k)/(dE)=g( vec(k))(int d vec(s)_( vec(k))*d( vec(k)))/(dE)]:}\begin{aligned} \Rightarrow \mathcal{N}(\mathrm{E}) \mathrm{dE} & =\int \mathrm{g}(\vec{k}) \overrightarrow{d^{3} k}=\mathrm{g}(\vec{k}) \int \overrightarrow{d^{3} k} \\ \mathcal{N}(\mathrm{E}) & =\mathrm{g}(\vec{k}) \frac{\int \vec{d}^{3} k}{\mathrm{dE}}=\mathrm{g}(\vec{k}) \frac{\int d \vec{s}_{\vec{k}} \cdot d \vec{k}}{\mathrm{dE}} \end{aligned}⇒N(E)dE=∫g(k→)d3k→=g(k→)∫d3k→N(E)=g(k→)∫d→3kdE=g(k→)∫ds→k→⋅dk→dE
Soit N ( E ) = g ( k → ) dE [ ∫ ( S k ) d S k ] d k ⊥ N ( E ) = g ( k → ) dE ∫ S k   d S k d k ⊥ quadN(E)=(g(( vec(k))))/(dE)[int_((S_(k)))dS_(k)]dk_(_|_)\quad \mathcal{N}(\mathrm{E})=\frac{\mathrm{g}(\vec{k})}{\mathrm{dE}}\left[\int_{\left(S_{k}\right)} d S_{k}\right] \mathrm{d} k_{\perp}N(E)=g(k→)dE[∫(Sk)dSk]dk⊥
Explicitons dans la suite cette densité dans chacune des bandes BV et BC.
Figure I-8 : Surfaces iso-énergie.

VI-2. Etats permis dans la bande de conduction

VI-2-1. Cas d’un semiconducteur univallée
Dans ce cas, on a :
E ( k → o ) = E c E k → o = E c E( vec(k)_(o))=E_(c)\mathrm{E}\left(\vec{k}_{o}\right)=\mathrm{E}_{\mathrm{c}}E(k→o)=Ec : minimum de BC (Figure I-9)
et m ∗ = m c ∗ m ∗ = m c ∗ m^(**)=m_(c)^(**)\mathrm{m}^{*}=m_{c}^{*}m∗=mc∗ : masse effective des électrons dans BC.
E = E C + ℏ 2 k 2 2 m c ∗ ⇒ k = 2 m c ∗ [ E − E c ] ℏ 2 E = E C + ℏ 2 k 2 2 m c ∗ ⇒ k = 2 m c ∗ E − E c ℏ 2 E=E_(C)+(ℏ^(2)k^(2))/(2m_(c)^(**))=>k=sqrt((2m_(c)^(**)[E-E_(c)])/(ℏ^(2)))\mathrm{E}=\mathrm{E}_{\mathrm{C}}+\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m_{c}^{*}} \Rightarrow \mathrm{k}=\sqrt{\frac{2 m_{c}^{*}\left[\mathrm{E}-\mathrm{E}_{\mathrm{c}}\right]}{\hbar^{2}}}E=EC+ℏ2k22mc∗⇒k=2mc∗[E−Ec]ℏ2
Les surfaces iso-énergie ont la forme sphérique de rayon k (Figure I-10). Le volume élémentaire compris entre les sphères de rayon k et k + dk k + dk k+dk\mathrm{k}+\mathrm{dk}k+dk est donné par :
∫ d 3 k → = [ ∫ ( S k ) d S k ] d k ⊥ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π k 2 sin ⁡ θ d θ d φ d k ( d k ⊥ = dk ) d’où 4 π k 2 dk = 4 π 2 ( 2 m c ∗ ℏ 2 ) 3 2 ( E − E c ) 1 2 dE N c ( E ) ∫ d 3 k → = ∫ S k   d S k d k ⊥ = ∫ 0 2 π   ∫ 0 π   k 2 sin ⁡ θ d θ d φ d k d k ⊥ = dk  d’où  4 π k 2 dk = 4 π 2 2 m c ∗ ℏ 2 3 2 E − E c 1 2 dE N c ( E ) {:[ int vec(d^(3)k)=[int_((S_(k)))dS_(k)]dk_(_|_)=int_(0)^(2pi)int_(0)^(pi)k^(2)sin theta d theta d varphi dk],[((d)k_(_|_)=dk)],[],[ » d’où « quad4pik^(2)dk=(4pi)/(2)((2m_(c)^(**))/(ℏ^(2)))^((3)/(2))(E-E_(c))^((1)/(2))dE],[N_(c)(E)]:}\begin{aligned} & \int \overrightarrow{d^{3} k}=\left[\int_{\left(S_{k}\right)} d S_{k}\right] \mathrm{d} k_{\perp}=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} k^{2} \sin \theta d \theta d \varphi d k \\ & \left(\mathrm{~d} k_{\perp}=\mathrm{dk}\right) \\ & \\ & \text { d’où } \quad 4 \pi \mathrm{k}^{2} \mathrm{dk}=\frac{4 \pi}{2}\left(\frac{2 \mathrm{~m}_{\mathrm{c}}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\left(\mathrm{E}-\mathrm{E}_{\mathrm{c}}\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{dE} \\ & \mathcal{N}_{\mathrm{c}}(\mathrm{E}) \end{aligned}∫d3k→=[∫(Sk)dSk]dk⊥=∫02π∫0πk2sin⁡θdθdφdk( dk⊥=dk) d’où 4πk2dk=4π2(2 mc∗ℏ2)32(E−Ec)12dENc(E)

VI-2-2. Cas d’un semiconducteur multivallée

Pour simplifier, considérons le cas où k → o = k → o x k → o = k → o x vec(k)_(o)= vec(k)_(o_(x))\vec{k}_{o}=\vec{k}_{o_{x}}k→o=k→ox :
⇒ E = E C + ℏ 2 2 [ ( k x − k o x ) 2 m ℓ ∗ + k y 2 + k z 2 m t ∗ ] ⇒ E = E C + ℏ 2 2 k x − k o x 2 m ℓ ∗ + k y 2 + k z 2 m t ∗ =>quadE=E_(C)+(ℏ^(2))/(2)[((k_(x)-k_(o_(x)))^(2))/(m_(ℓ)^(**))+(k_(y)^(2)+k_(z)^(2))/(m_(t)^(**))]\Rightarrow \quad \mathrm{E}=\mathrm{E}_{\mathrm{C}}+\frac{\hbar^{2}}{2}\left[\frac{\left(k_{x}-k_{o_{x}}\right)^{2}}{m_{\ell}^{*}}+\frac{k_{y}{ }^{2}+k_{z}{ }^{2}}{m_{t}^{*}}\right]⇒E=EC+ℏ22[(kx−kox)2mℓ∗+ky2+kz2mt∗]
Figure I-9 : Diagramme des bandes d’énergie d’un semiconducteur univallée.
Figure I-10 : Surfaces iso-énergie d’un semiconducteur univallée.
Soit ( 1 ) d 3 k → = d ( 4 3 π a b c ) ( 1 ) d 3 k → = d 4 3 π a b c ^((1)) vec(d^(3)k)=d((4)/(3)pi abc)quad{ }^{(1)} \overrightarrow{d^{3} k}=\mathrm{d}\left(\frac{4}{3} \pi a b c\right) \quad(1)d3k→=d(43πabc) avec a = 2 m ℓ ∗ ℏ 2 [ E − E c ] a = 2 m ℓ ∗ ℏ 2 E − E c quad a=sqrt((2m_(ℓ)^(**))/(ℏ^(2))[E-E_(c)])quad\quad a=\sqrt{\frac{2 m_{\ell}^{*}}{\hbar^{2}}\left[E-E_{c}\right]} \quada=2mℓ∗ℏ2[E−Ec] et b = c = 2 m t ∗ ℏ 2 [ E − E c ] b = c = 2 m t ∗ ℏ 2 E − E c b=c=sqrt((2m_(t)^(**))/(ℏ^(2))[E-E_(c)])b=c=\sqrt{\frac{2 m_{t}^{*}}{\hbar^{2}}\left[E-E_{c}\right]}b=c=2mt∗ℏ2[E−Ec] (voir annexe 1)
⇒ d 3 k → = 2 π ( 2 ℏ 2 ) 3 2 ( m ℓ ∗ m t ∗ 2 ) 1 2 ( E − E c ) 1 2 dE ⇒ d 3 k → = 2 π 2 ℏ 2 3 2 m ℓ ∗ m t ∗ 2 1 2 E − E c 1 2 dE =>quad vec(d^(3)k)=2pi((2)/(ℏ^(2)))^((3)/(2))(m_(ℓ)^(**)m_(t)^(**2))^((1)/(2))(E-E_(c))^((1)/(2))dE\Rightarrow \quad \overrightarrow{d^{3} k}=2 \pi\left(\frac{2}{\hbar^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\left(m_{\ell}^{*} m_{t}^{* 2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\mathrm{E}-\mathrm{E}_{\mathrm{c}}\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{dE}⇒d3k→=2π(2ℏ2)32(mℓ∗mt∗2)12(E−Ec)12dE
d’où en posant m eq ∗ = ( m ℓ ∗ m t ∗ 2 ) 1 3 m eq ∗ = m ℓ ∗ m t ∗ 2 1 3 m_(eq)^(**)=(m_(ℓ)^(**)m_(t)^(**2))^((1)/(3))\mathrm{m}_{\mathrm{eq}}^{*}=\left(m_{\ell}^{*} m_{t}^{* 2}\right)^{\frac{1}{3}}meq∗=(mℓ∗mt∗2)13, on trouve :
N c ( E ) = V 2 π 2 ( 2 m eq ∗ ℏ 2 ) 3 2 ( E − E c ) 1 2 N c ( E ) = V 2 π 2 2 m eq ∗ ℏ 2 3 2 E − E c 1 2 N_(c)(E)=(V)/(2pi^(2))((2m_(eq)^(**))/(ℏ^(2)))^((3)/(2))(E-E_(c))^((1)/(2))\mathcal{N}_{\mathrm{c}}(\mathrm{E})=\frac{V}{2 \pi^{2}}\left(\frac{2 \mathrm{~m}_{\mathrm{eq}}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\left(\mathrm{E}-\mathrm{E}_{\mathrm{c}}\right)^{\frac{1}{2}}Nc(E)=V2π2(2 meq∗ℏ2)32(E−Ec)12

VI-3. Etats permis dans la bande de valence

Pour la plupart des semiconducteurs qui sont de structure cubique, le maximum de la BV est en k → o = 0 → k → o = 0 → vec(k)_(o)= vec(0)\vec{k}_{o}=\overrightarrow{0}k→o=0→, il est unique; la bande est dite isotrope (Figure I-11). En introduisant la quantité négative m v ∗ m v ∗ m_(v)^(**)m_{v}^{*}mv∗ ayant la dimension d’une masse, l’énergie d’un état électronique de vecteur d’onde k → k → vec(k)\vec{k}k→ dans la BV s’écrit :
E = E V + ℏ 2 k 2 2 m v ∗ E = E V + ℏ 2 k 2 2 m v ∗ E=E_(V)+(ℏ^(2)k^(2))/(2m_(v)^(**))\mathrm{E}=\mathrm{E}_{\mathrm{V}}+\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m_{v}^{*}}E=EV+ℏ2k22mv∗
Sous excitation, les électrons peuvent transiter vers la BC laissant des états vides. On considère que ces états sont occupés par des quasiparticules appelées "trous".
Le trou représente ainsi l’absence d’un électron dans un cristal. Il n’est ni un positron, ni un proton, mais seulement une place libre pour un électron.
Figure I-11 : Illustration du caractère isotrope de la BV.
Le mouvement des trous dans le cristal est le résultat du comblement successif des états électroniques libres par les électrons (de l’occupation d’une place libre par un électron résulte une autre place libre, qui sera à son tour occupée par un autre électron et ainsi de suite).
Contrairement à l’électron porteur d’une charge négative q = − e < 0 q = − e < 0 q=-e < 0\mathrm{q}=-\mathrm{e}<0q=−e<0, le trou porte une charge positive q = + e > 0 q = + e > 0 q=+e > 0\mathrm{q}=+\mathrm{e}>0q=+e>0, sa masse est également positive: m p ∗ = − m v ∗ > 0 m p ∗ = − m v ∗ > 0 m_(p)^(**)=-m_(v)^(**) > 0m_{p}^{*}=-m_{v}^{*}>0mp∗=−mv∗>0. En comptant l’énergie positive vers le haut, l’énergie des trous s’exprime par:
E = E v − ℏ 2 k 2 2 m p ∗ ⇒ k = 2 m p ∗ [ E v − E ] ℏ 2 et ∫ d 3 k → = [ ∫ ( S k ) d S k ] d k ⊥ = 4 π k 2 dk ( d k ⊥ = dk ) E = E v − ℏ 2 k 2 2 m p ∗ ⇒ k = 2 m p ∗ E v − E ℏ 2  et  ∫ d 3 k → = ∫ S k   d S k d k ⊥ = 4 π k 2 dk d k ⊥ = dk {:[E=E_(v)-(ℏ^(2)k^(2))/(2m_(p)^(**))=>k=sqrt((2m_(p)^(**)[E_(v)-E])/(ℏ^(2)))quad » et « quad int vec(d^(3)k)=[int_((S_(k)))dS_(k)]dk_(_|_)=4pik^(2)dk],[((d)k_(_|_)=dk)]:}\begin{gathered} \mathrm{E}=\mathrm{E}_{\mathrm{v}}-\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m_{p}^{*}} \Rightarrow \mathrm{k}=\sqrt{\frac{2 m_{p}^{*}\left[\mathrm{E}_{\mathrm{v}}-\mathrm{E}\right]}{\hbar^{2}}} \quad \text { et } \quad \int \overrightarrow{d^{3} k}=\left[\int_{\left(S_{k}\right)} d S_{k}\right] \mathrm{d} k_{\perp}=4 \pi \mathrm{k}^{2} \mathrm{dk} \\ \left(\mathrm{~d} k_{\perp}=\mathrm{dk}\right) \end{gathered}E=Ev−ℏ2k22mp∗⇒k=2mp∗[Ev−E]ℏ2 et ∫d3k→=[∫(Sk)dSk]dk⊥=4πk2dk( dk⊥=dk)
Soit N v ( E ) = V 2 π 2 ( 2 m p ∗ ℏ 2 ) 3 2 ( E v − E ) 1 2 N v ( E ) = V 2 π 2 2 m p ∗ ℏ 2 3 2 E v − E 1 2 quadN_(v)(E)=(V)/(2pi^(2))((2m_(p)^(**))/(ℏ^(2)))^((3)/(2))(E_(v)-E)^((1)/(2))\quad \mathcal{N}_{\mathrm{v}}(\mathrm{E})=\frac{V}{2 \pi^{2}}\left(\frac{2 \mathrm{~m}_{\mathrm{p}}^{*}}{\hbar^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\left(\mathrm{E}_{\mathrm{v}}-\mathrm{E}\right)^{\frac{1}{2}}Nv(E)=V2π2(2 mp∗ℏ2)32(Ev−E)12

Remarques

(i) Dans le cas d’un semiconducteur univallée, le minimum absolu de BC et le maximum absolu de BV sont situés tous deux en k → = 0 → k → = 0 → vec(k)= vec(0)\vec{k}=\overrightarrow{0}k→=0→. Les transitions électroniques entre BV et BC se font alors directement sans changement de vecteur k → k → vec(k)\vec{k}k→. Le semiconducteur univallée est dit dans ce cas à gap direct (Figure I-12.a).
Dans le cas d’un semiconducteur multivallée, ces extremums sont situés en des points différents dans l’espace des k → k → vec(k)\vec{k}k→. Les transitions électroniques entre le maximum et le minimum absolus respectivement de BV et BC ne se font pas de manière directe. Le semiconducteur multivallée est dit à gap indirect (Figure I-12.b).
Figure I-12.a : Semiconducteur à gap direct.
Figure I-12.b : Semiconducteur à gap indirect.

Exemples :

Semiconducteur à gap indirect : Si, Ge, AlP, AlAs, AlSb.
Semiconducteur à gap direct : le reste des semiconducteurs : AlN, GaN, GaSb, GaAs, …
(ii) Dans le cas d’un semiconducteur multivallée, il faut multiplier la densité d’états électroniques N c ( E ) N c ( E ) N_(c)(E)\mathcal{N}_{\mathrm{c}}(\mathrm{E})Nc(E) par le nombre de vallées équivalentes.
(iii) Dans le cas d’un métal, l’effet de ses limites est traduit par un potentiel constant V 0 V 0 V_(0)\mathrm{V}_{0}V0. Ce potentiel représente une barrière qui empêche les électrons de sortir du métal. A l’intérieur du métal, les électrons sont considérés libres. Leur masse est donc la même que celle au repos m 0 m 0 m_(0)\mathrm{m}_{0}m0 et leur énergie est continue (Figure I-13):
E = eV o + ℏ 2 k 2 2 m o E = eV o + ℏ 2 k 2 2 m o E=eV_(o)+(ℏ^(2)k^(2))/(2m_(o))\mathrm{E}=\mathrm{eV}_{\mathrm{o}}+\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m_{o}}E=eVo+ℏ2k22mo
Dans ce cas, une démarche de calcul analogue à celle utilisée au § VI-2.a conduit à l’expression de la densité d’états électroniques suivante:
N c ( E ) = V 2 π 2 ( 2 m o ℏ 2 ) 3 2 ( E − eV o ) 1 2 N c ( E ) = V 2 π 2 2 m o ℏ 2 3 2 E − eV o 1 2 N_(c)(E)=(V)/(2pi^(2))((2m_(o))/(ℏ^(2)))^((3)/(2))(E-eV_(o))^((1)/(2))\mathcal{N}_{\mathrm{c}}(\mathrm{E})=\frac{V}{2 \pi^{2}}\left(\frac{2 \mathrm{~m}_{\mathrm{o}}}{\hbar^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\left(\mathrm{E}-\mathrm{eV}_{\mathrm{o}}\right)^{\frac{1}{2}}Nc(E)=V2π2(2 moℏ2)32(E−eVo)12
La densité est également continue et son expression est valable même loin du minimum de BC (Figure I-14).
Figure I- 13: Dispersion de l’énergie des électrons libres dans un métal.
Figure I-14: Variation de la densité d’états des électrons de conduction.

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